解き方を教えてください。

質問

正三角形ＡＢＣで、２つの点Ｐ、Ｑは、頂点Ａを同時に出発して、点Ｐは左回り、点Ｑは右回りに三角形の辺上を動き続けます。点Ｐは６秒で、点Ｑは４秒で三角形の辺上を１周します。
２つの点Ｐ、Ｑは、三角形の辺上をそれぞれ何周かして、頂点Ａで出会います。２つの点Ｐ、Ｑが、頂点Ａを出発してから、次に頂点Ａで出会うまでの間に、辺上で出会う回数を求めなさい。ただし、２つの点Ｐ、Ｑが、同時に頂点Ａにあるときは除きます。

以上の問題の解き方を教えていただきたいです。よろしくお願い致します_(_^_)_

回答No.5

keyuki

No.1です。
すみません。問題文をちゃんと読んでいませんでした。回数を求めるんでしたね。
答えが出ているので、実際に数値を出して補足説明します。

Pは1秒で1/6周します。
Qは1秒で1/4周します。

頂点Aで出会うとき、両方が整数周するということなので
4と6の最小公倍数、12秒後にPとQは頂点Aで出会うということになります。
このときPは2周、Qは3周しています。

ところで
PとQが出会うタイミングは「移動距離が合わせて1周分」となる時です（Aから両側に矢印を書いてぶつけてみると分かるでしょう）。
つまり、PとQは12秒後の時点で合わせて5周しているので、5回目の出会いになります。
最後の頂点Aでの出会いは除くので、それまでに出会った4回が答えです。

回答No.4

staratras

No.3です。この考え方は一般化できます。

正三角形(に限りませんが）の一つの頂点Aを2点P、Qが同時に出発して反対まわりに辺上を周回するものとし、Pがm回周回する間に、ちょうどQがn回周回して、再び頂点Aで（初めて）出会ったとすると、この間に途中の辺上で出会う回数は（m+n-１）回です。

出会う回数だけを考えているので、m≦nと仮定しても一般性を失いません。

QがAからAまで1周する間にPは1周以下しか周回しないので、この間にPがAを通過するのは１回以下です。

Qが１周する間にPがAを通過しない場合には、PとQは周(辺）上の頂点Aを含まない区間で1回出会い、すれちがいます。

Qが１周する間にPがAを1回通過する場合には、PとQは周(辺）上で頂点Aをはさんで反対側の区間でそれぞれ1回ずつ、つまり合計2回、出会い、すれちがいます。

点PはAを出発してm回周回するまでの間、すなわち出発時と終了時の両端を含まない途中では（m-１）回頂点Aを通過します。

したがって、点PとQが出会う回数は、

１×（n-(m-1）)+2×(m-1)=n-m+1+2m-2=m+n-1 (回）です。

回答No.3

staratras

算数的に考えてみました。この問題では、2点P、Qが「出会う」ということは出発点以外では「すれちがう」ことです。

ここで、点Pは６秒で、点Qは4秒で正三角形の周を一回りしますので、頂点Aを出発して12秒後に2つの点は再び頂点Aで出会います。この間に点Pは2周、点Qは3周します。

足の速い点Qの立場で考えると、正三角形の周を最初にA→Aを一回りする間に、速度の比が３：２なので、足の遅いPはA→B→Cまで動き正三角形の周回の途中で1回すれちがいます。

Qの2周めPはC→A→Bと途中でAを通過します(６秒後）ので、Qが1周する間にQと2回すれちがいます。なぜならば、Qが2周目のAを出発した時に、PはCにあるので、辺CA上のどこかででQと先ずすれちがいますが、Qの2周目の終了時にはPはBにあるので、Qと辺AB上のどこかで再びすれちがわなくてはならないからです。

つまり、この問題では、Qの立場で見ると、自分がA→Aを1周する間に、相手のPがAを通過するときだけ2回すれちがい、それ以外では1回すれちがうことがわかります。(この考え方は他にも応用できそうです）

Qの３周めPはB→C→Aと動き、Qが1周する間にPと1回すれちがいます。そしてQの3周目の終わりとPの2周目の終わりが同時(12秒後）で、Aで再び出会ってすれちがい、後はこの繰り返しです。

したがって、すれ違う回数は、１＋２＋１＝４　　4回です。

回答No.2

gohtraw

二点が動いた距離の合計が△ABCの周長の整数倍になるときに点が出会っているわけです。
ここで△ABCの周長を１とすると、点P及びQの移動速度はそれぞれ１／６及び１／４です。従って時間をｔとして
ｔ（１／６＋１／４）＝５ｔ／１２
　　　　　　　　　　　＝ｎ　（ｎは整数）
となるときに点が出会います。
ｎ＝１のときｔ＝１２／５
ｎ＝２のときｔ＝２４／５
ｎ＝３のときｔ＝３６／５
ｎ＝４のときｔ＝４８／５
ｎ＝５のときｔ＝１２　→このときＰとＱは頂点Ａにいます

上記より、二点が辺上で出会う回数は４回です。

回答No.1

keyuki

まずは、それぞれが1秒で何周するかを考えましょう。

1周、2周と回るたびに点Aに戻ってくるわけですから、

両方の周回数が整数になる時間を求めればいいわけです。