アークタンジェントの計算について

質問

tan^-1(tan(x/2)=x/2になるとあったのですがどうやればいいでしょうか?

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

#1です。

＞よって
tan(x/2)=tan(x/2)

のところをもう少し教えてください。

tan^-1(tan(x/2)=x/2
tan(x/2)=tan(x/2)

上記ふたつのしきが等しいということでしょうか

tan^-1(tan(x/2)=x/2

の左辺に前からtanを働かせると

tan[tan^(-1)tan(x/2)]

となり一番左のtanと[ ]の中のtan^(-1)が相互に逆演算青で打ち消しあって消滅し、[ ]の中のtanだけが残るということです。

当然、右辺にもtanを働かせなければならないのでその結果右辺は

tan(x/2)となり、結果として右辺も左辺もtan(x/2)になった。同じもの同士は等しいので、この結論に至った前の段階も正しい。つまり

tan^-1(tan(x/2)=x/2

も正しいという意味です。

お礼

補足への回答ありがとうございました。返信が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.4

jcpmutura

#3です。訂正します
y=arctan{tan(x/2)}
として両辺のtanをとると
tan(y)=tan[arctan{tan(x/2)}]=tan(x/2)
tan(y)-tan(x/2)=0
={sin(y)/cos(y)}-{sin(x/2)/cos(x/2)}
={sin(y)cos(x/2)-sin(x/2)cos(y)}/{cos(y)cos(x/2)}
=sin(y-x/2)/{cos(y)cos(x/2)}=0
だから
sin(y-x/2)=0
だから整数nに対して
y-x/2=nπ
y=x/2+nπ
y=arctan{tan(x/2)}だから
∴
arctan{tan(x/2)}=(x/2)+nπ

-π<x<πの時
-π/2<-x/2<π/2
arctanの値域は
-π/2<arctan{tan(x/2)}<π/2
だから
-π/2<(x/2)+nπ<π/2
だからこれに-π/2<-x/2<π/2を加えると
-π<nπ<π
だから
-1<n<1
だからnは整数だから
n=0
だから
∴
arctan{tan(x/2)}=x/2

お礼

訂正ありがとうございました。返信が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.3

jcpmutura

t=x/2
tan(t)の定義域が
-π/2<t<π/2
であれば
arctan{tan(t)}=t
がいえますが、
tan(t)の定義域が
整数nに対して
-π/2+nπ<t<π/2+nπ
↓の場合は
arctan{tan(t)}=t-nπ
となります。

tan(x/2)の定義域が
-π/2<x/2<π/2
であれば
-π<x<π

y=arctan{tan(x/2)}
とするとarctanの値域は
-π/2<y<π/2

y=arctan{tan(x/2)}
の両辺のtanをとると
tan(y)=tan[arctan{tan(x/2)}]=tan(x/2)
tan(y)-tan(x/2)=0
={sin(y)/cos(y)}-{sin(x/2)/cos(x/2)}
={sin(y)cos(x/2)-sin(x/2)cos(y)}/{cos(y)cos(x/2)}
=sin(y-x/2)/{cos(y)cos(x/2)}=0
だから
sin(y-x/2)=0
だから整数nに対して
y-x/2=nπ

-π/2<y<π/2
-π/2<-x/2<π/2
だから
-π<y-x<π
だから
-π<nπ<π
だから
-1<n<1
だから
n=0
だから
y-x/2=0
だから
y=x/2
∴
arctan{tan(x/2)}=x/2

お礼

回答ありがとうございました。返信が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.1

bran111

tan^-1(tan(x/2)=x/2

tanとtan^(-1)は逆演算です。従ってこれを続けて行うと元に戻るわけです。

見方を変えて、両辺のtanをとります。

tan[tan^(-1)]も逆演算を続けて行っているのでこの部分は消えます。

よって

tan(x/2)=tan(x/2)

お礼

回答ありがとうございました。返信が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

補足

回答ありがとうございました。

>よって
tan(x/2)=tan(x/2)

のところをもう少し教えてください。

tan^-1(tan(x/2)=x/2
tan(x/2)=tan(x/2)

上記ふたつのしきが等しいということでしょうか