アークタンジェント

質問

アークタンジェントの範囲は90度以上に変化するのですか？
また、変化させるにはどうしたらいいですか？
お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

y=tan(x)…(A)
のグラフを描くと分かると思いますが、
このグラフと
y=k（kは定数）のグラフの交点は無数に存在しますね。

(A)の式でyとxを入れ替えた
x=tan(y)…(B)のグラフは
y=tan(x)のグラフを直線y=xに対して折り返した（対称移動した）グラフに
なりますね。
(B)のグラフと直線x=h(hは定数)のグラフの交点は無数に存在することはお分かりですね。
つまり、x=hとおくと交点の座標が無数に存在します。
このように、1つのxに対して、yの値が2つ以上存在する関数の事を多価関数と呼びます。
多価関数ではxの値を指定してもyの値が（一意に）１つだけ決まらないのでyの範囲を制限（または指定）しないとyの値が決められません。
そこで、(B)の式で-π/2≦y≦π/2と制限して多価関数とならないようにします。
x=tan(y)、(-π/2＜y＜π/2)…(C)
すると(C)は一価関数（xの1つの値に対してyの値が１つ定まる関数）になります。
(C)をyについて解いた関数（逆関数）がアークタンジェントの
y=arctan(x)(-π/2＜y＜π/2)…(D)
または
y=tan^(-1)(x)(-π/2＜y＜π/2)…(D')
となります。
この関数では
-∞＜x＜∞
のxに対して、(D)または(D')の式のyが
-π/2＜y＜π/2
の範囲に1つだけ定まります。
(なお、π/2は90°のことです。)

(D)または(D')はアークタンジェントの定義になっていますので、
計算機や電卓でアークタンジェントを計算しても
-π/2＜y＜π/2
の範囲の値しか計算してくれません。
この範囲の値のことを主値と呼んでいます。
すなわち
-π/2＜arctan(x)＜π/2
またarcsin(x)やarccos(x)の主値の範囲は
-π/2＜arcsin(x)＜π/2
0＜arccos(x)＜π
となっています。

主値の範囲を超える
x=tan(y)=h(hは定数）を満たすyを求めたい場合は
-π/2＜arctan(x)＜π/2であることを考慮して
y=arctan(x)±nπ
としてyの範囲によって整数nを選んでπ（180°）の整数倍を加減して調整してやれば良いですね。

お礼

とても詳しい、しかもわかりやすい説明をしてくださって感謝します！大変参考になりました、ありがとうございました。

回答No.1

banakona

「変化する」という表現が引っかかりますが・・・

普通は－９０～９０度（単位がラジアンなら－π／２～π／２）ですが、変化させたければさせてもいいでしょう。
９０度以上にしたければ、算出結果に１８０を足せばいいです。これでも足りなければ更に１８０を足せばいい。

例えば１のアークタンジェントは普通は４５度ですが、９０度以上にしたければ１８０を足して２２５度。これで足りなければ更に１８０を足して４０５度。これでも足りなければ更に１８０を足して５８５度。

お礼

なるほどーありがとうございます！