確率の問題

質問

A,B,C 三枚のカードがあります。そのうち一枚が当たりです. 今、どれか一枚だけを選びます。残ったカードのうち一枚をひっくり返して、はずれであることが分かりました。　さて、最初に選んだカードが当たりである確率はどう変わったでしょうか？　というのが問題です。
普通は、当たりかはずれかで２枚しか残っていないから、
1/2 だと思ってしまいますが、これは、変わらないのが正しい答えなのだそうです。　どうしてそうなるのか、教えてください。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

＞残ったカードのうち一枚をひっくり返して、はずれであることが分かりました。
の部分が、

１)　ひっくり返したカードがたまたまはずれだった、(当たりのカードをひっくり返す可能性もあった)という意味なら、1/2が正解で、

２)　そのカードがはずれだと分かって、ひっくり返した(当たりのカードをひっくり返すことはない)のなら、1/3が正解です。

ご質問に書いてある事をそのまま解釈すれば、前者の方ですね。

一応、何故、後者の場合、1/3のままなのかを書いておきますね。

選んだカードが当たりである事象をＡ
残ったカードのうち、1枚をひっくり返して、そのカードが「はずれ」である事象をＢ
Ａ｜Ｂで事象Ｂが起こったと言う条件で事象Ａが起こる、という事象を表す事にします。

求めたい確率はＰ(Ａ|Ｂ)で、
Ｐ(Ａ|Ｂ)＝Ｐ(Ａ)/Ｐ(Ｂ)という関係になっています(条件付確率とか呼ばれていますね)

Ｐ(Ａ)が、選んだカードが当たりである確率なので、Ｐ(Ａ)=1/3というのは問題ないでしょう。(ここでは、ひっくり返したカードがはずれだった、みたいな情報が与えられていないので)

次に、Ｐ(Ｂ)についてですが、
「そのカードがはずれだと分かってひっくり返した」という事から分かるようにＰ(Ｂ)＝1なので、
Ｐ(Ａ|Ｂ)＝(1/3)/1=1/3となり、

最初に選んだカードが当たりである確率は"1/3"のまま、という事になります。

つまり、残る２枚からカードをひっくり返す時に、当たりのカードをひっくり返す可能性がないと、その分、直感の"1/2"という確率からずれてしまうんです。

参考までに、「ひっくり返したカードがたまたまはずれだった」のなら、Ｐ(Ｂ)＝2/3となって、
Ｐ(Ａ|Ｂ)＝(1/3)/(2/3)=1/2
と直感と一致しますね。

長くなってしまいましたが、こういう説明でどうですか？分からない部分があったら、補足してください。

お礼

もう、文句のつけようがない回答です。
納得しました。ありがとうございました。

回答No.4

sanori

ご質問の疑問は当然です。
問題が間違っています。

１枚ハズレが確定している時点では、
「最初に選んだカードが当たりである確率」は２分の１です。

「最初の時点に立ち戻って、選んだカードが当たりであった確率」は３分の１です。

もしも私の考えが間違いであれば、黒ヒゲ危機一髪ゲームでは、全部剣を刺しても黒ヒゲが飛び出さない現象が起こりうるということになります。（笑）

あるいは、番号を読んだ玉を１回１回、抽選機械の中に元に戻しているビンゴのようなものです。

お礼

なるほど、そのとおりです。　先ほどまで自分の考え方に固執していたのですが、問題をよく考えてみればそれ以外に答えはありませんよね。

補足

僕も、まだ納得できる説明を用意していないのですが、問題の設定自体はこれであっています。付帯条件もありません。　はずれであったカードを元に戻すこともしません。
この問題を初めてみたのは、日経サイエンスの98年11月号で、マーチンガードナー氏が紹介していたクイズでした。
その時の解説が、数学的でなく分かりにくかったのですが、「一枚のカードをめくったことにより、そのカードの不確実性をうちけした（？）だけで、最初に選んだ方のカードは確率がそのままである。
つまり最初に選ばず、めくらなかった方の確率が2/3
にあがったことになる。」　というものだったと思います。
全然補足になっていませんが、しばらく自分で考えてみます。

回答No.3

nozomi500

#1さんと逆のパターンを。
当たりくじが１枚だけあるくじで、
最初に他の人が買ったくじが「あたり」であることがわかった場合、
あなたが買ったくじは100％「はずれ」です。

回答No.2

winterofmeei

> 残ったカードのうち一枚をひっくり返して、はずれであることが分かりました。

まず、この状況が起きる確率が2/3です。

残っているカードはあたりとはずれの２枚なので選ばれたカードがあたりである確率は1/2であり、「全体」では掛け合わせて1/3となります。ただし、「最初の状況が起きた上」で選んだカードがあたりかはずれかという問いならば1/2になります。

回答No.1

liar_adan

この問題は、質問に書いたのと同じ形式では成り立ちません。
問題の形式だと、思われている通り1/2となります。
パズルとしては、「残ったカードから一枚めくる人は、
どれが当りか知っている」
および、
「最初から、残ったカードのうち1枚をめくる約束である」
ことが前提です。
そのとき初めて変わらず1/3になります。

その場合の問題については、
過去にも同様の問題が出て、賑わったことがありましてね…。
賑わったけれど、かえってわからなくなったような…。

それ以降私も考えまして、
こういう例を思いつきました。

あなたが宝くじを買ったとします。
1等が当たる確率を、仮に10万分の1とします。
(これは、スクラッチなどの、手元で当たり外れがわかる
方式の宝くじとします)

宝くじを買った後で、お節介な頭取が出てきて、
「宝くじの残りのハズレを見せてあげよう」
といって、残りの宝くじをどんどん開けていきます。

頭取はどれが当りか知っています。
売れ残りの9万9999枚のうち、9万9998枚まで開けていきます。
そして、
「残ったのは一枚。さて、この一枚と、君の一枚を
交換する？　それともしない？」
と言ってきます。

ここで考えてほしいのですが、
あなたが一枚買ったくじは、
当たる確率は10万分の1です。

対して、頭取は、
10万分の1の当りの場合でも、
10万分の9万9999のハズレの場合でも、
9万9998枚までは開けることができるわけです。

現実世界でこういうことが起きたとしたら、
「自分の持っているのが当りだから、
頭取がこんなことしたんじゃないのか！？」
と思うでしょうし、それももっともでしょう。
しかし、ルールとして最初から決めていれば、
その理屈は成り立ちません。

最初に引いたくじがハズレである確率は10万分の9万9999であり、
交換した方がいいということになります。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=655704

お礼

ありがとうごさいました。
問題の条件をよく考えずに問題を解こうとしていたので、
袋小路にはまってしまいました。