算数の質問です。宜しくお願い致します。

質問

学童を科学博物館へ見学する資金を募るために、先生はクラスの学生に鉛筆一本を1ドルで売りました。それらの１ドル札を、先生は2つの等しい1ドル札束に束ねようとしましたが、1ドルが残りましたした。先生は3つの等しい１ドル札束に束ねようとしましたがやはり１ドルが残りました、4束と5束を試しましたが、やはり1ドルが残りました。
ですが１ドル札を7束に束ねると１ドル札束は等しくまとまり、１ドルは残りませんでした。
先生がクラスで集めた合計金額は何人からいくら集めたかの式を教えて下さい。

回答No.7

chie65536（@chie65535）

追記。

『「何人から集めたか？」は計算できません。 』と書きましたが、計算できない理由は「問題の前提条件が足りないから」です。

問題文に「全員から同じ金額を集めました」と言う条件があっても、まだ条件が足りません。

「全員から同じ金額を集めました」という条件だけでは「クラスの人数が７の倍数」であれば、何人であっても成り立ってしまいます。

「全員から同じ金額を集めました」という条件が無いので「クラスが６０人で、６０人中５９人は１ドルを出して、たった一人の裕福な子供が２４２ドルを出した」かも知れません。

つまり「この問題文からだけでは、何人から集金したのかは、計算できない」のです。

なお、他の回答で「答：301ドルを43人から集めた」などと書いている人が居ますが、どこにも「全員から同じ金額を集めました」と書いてないのに「きっと、全員から同じ金額を集めたに違いない」という思い込みをしている、誤った回答です。

お礼

ご回答、また丁寧なご指摘を有り難うございます。

回答No.6

chie65536（@chie65535）

＞それらの１ドル札を、先生は2つの等しい1ドル札束に束ねようとしましたが、1ドルが残りましたした。

集金額は「２の倍数＋１（奇数）」です。

＞先生は3つの等しい１ドル札束に束ねようとしましたがやはり１ドルが残りました、

集金額は「３の倍数＋１」です。

＞4束と5束を試しましたが、やはり1ドルが残りました。

集金額は「４の倍数＋１」かつ「５の倍数＋１」です。

＞ですが１ドル札を7束に束ねると１ドル札束は等しくまとまり、１ドルは残りませんでした。

集金額は「７の倍数」です。

つまり、集金額は「２の倍数＋１（奇数）」かつ「３の倍数＋１」かつ「４の倍数＋１」かつ「５の倍数＋１」かつ「７の倍数」です。

このうち「？の倍数＋１」になっている部分に注目します。

「２の倍数＋１（奇数）」かつ「３の倍数＋１」かつ「４の倍数＋１」かつ「５の倍数＋１」ですから、これは「２、３、４、６の公倍数＋１」です。

「２、３、４、６の公倍数」は「６０ｎ」ですから、この数は「６０ｎ＋１」です。

集金額は「７の倍数」ですから「６０ｎ＋１が７で割り切れるもの」を探せば良い事になります。

ｎ＝１の時、６０ｎ＋１は「６１」になり、７で割った余りは「５」です。

ｎが１増えると集金額は６０増えるので「７で割った余り」は「６０を７で割った余り」だけ増えます。つまり「４」づつ増えます。

ｎ＝１の時、７で割った余り＝５
ｎ＝２の時、７で割った余り＝(５＋４)を７で割った余り＝２
ｎ＝３の時、７で割った余り＝(２＋４)を７で割った余り＝６
ｎ＝４の時、７で割った余り＝(６＋４)を７で割った余り＝３
ｎ＝５の時、７で割った余り＝(３＋４)を７で割った余り＝０
ｎ＝６の時、７で割った余り＝(０＋４)を７で割った余り＝４
ｎ＝７の時、７で割った余り＝(４＋４)を７で割った余り＝１
ｎ＝８の時、７で割った余り＝(１＋４)を７で割った余り＝５

ｎが８になると、７で割った余りが「ｎが１の時」と同じになります。つまり「ｎが７増えるごとに、７で割った余りが同じになる、という事です。

ｎ＝５の時、７で割り切れます。なので、ｎが５、１２、１９、２６…の時に、すべての条件を満たします。

ｎ＝５の時、６０ｎ＋１＝３０１
ｎ＝１２の時、６０ｎ＋１＝７２１
ｎ＝１９の時、６０ｎ＋１＝１１４１
ｎ＝２６の時、６０ｎ＋１＝１５６１
（以下略）

一般化すると式は

６０（７ｍ－２）＋１　但しｍは自然数

となります。

因みに「何人から集めたか？」は計算できません。

お礼

ご回答、また丁寧な解析を有り難うございます。

回答No.5

noname#210416

宿題やテスト等は　なるべくなら　自身で考え　それでも解からない時には　先生等に聞く( 面と向かって聞ける人 )事の方が重要なのです・・・

答えを　丸写しすれば　頭に残って無く　次回　同じ問題がでたら　解き方が解からなくなるだけですよ・・・

こういった事が分かる様になるのは　勉学を離れてからだから　あなたには「馬の耳に念仏」なんだろーけどね・・・

回答No.4

atkh404185

先生は2つの等しい1ドル札束に束ねようとしましたが、1ドルが残りましたした。

⇒　○○(２束)＋１　（２の倍数＋１）
これから、集めた金額は、２の倍数より１多い

先生は3つの等しい１ドル札束に束ねようとしましたがやはり１ドルが残りました。

⇒　●●●(３束)＋１　（３の倍数＋１）
これから、集めた金額は、３の倍数より１多い

4束と5束を試しましたが、やはり1ドルが残りました。

⇒　□□□□＋１　（４の倍数＋１）
これから、集めた金額は、４の倍数より１多い

　　△△△△△＋１　（５の倍数＋１）
これから、集めた金額は、５の倍数より１多い

以上のことから、集めた金額は、
２，３，４，５の公倍数より１多い
つまり、６０の倍数より１多い金額になります。
だから、
１、６１、１２１，１８１、２４１、３０１、３６１、４２１，４８１、・・・・・
となります。（この問題は、１は考えなくてもいいです）

１ドル札を7束に束ねると１ドル札束は等しくまとまり、１ドルは残りませんでした。

⇒　▲▲▲▲▲▲▲　（７の倍数）
これから、集めた金額は、７の倍数である

６１、１２１，１８１、２４１、３０１、３６１、４２１，４８１、・・・・・
の中から、７の倍数になる数を求めればよいです。
３０１÷７＝４３

これから、先生がクラスで集めた合計金額は　４３人で、３０１ドル
となるのですが、

４８１以降、５４１、６０１，６６１，７２１、７８１、・・・・・
であり、７２１÷７＝１０３
のように、数を大きくすると、答えはいくらでもあることになります。

『 式を教えて下さい。 』
ですが、集めた金額が、
２，３，４，５の倍数より１多い、つまり、６０の倍数より１多い数である
ことがわかり、さらに、これらの数の中で、７の倍数であるものになります。

ですが１ドル札を7束に束ねると１ドル札束は等しくまとまり、１ドルは残りませんでした。

お礼

ご回答、また丁寧な解説や分析をして頂き、本当に有り難うございます。

回答No.3

noname#212313

中学数学ですと、集まった1ドル札の枚数を変数として、x（エックス）枚と置いて式を作り、簡単に解けるのですが、算数なので変数を使わないで考えてみます。

> 学童を科学博物館へ見学する資金を募るために、先生はクラスの学生に鉛筆一本を1ドルで売りました。

　問題の前提ですね。1ドル札が何枚か集まった。その枚数を求めたい。

> それらの１ドル札を、先生は2つの等しい1ドル札束に束ねようとしましたが、1ドルが残りましたした。

　偶数ならちょうど等しいように二つに分けられるわけですが、1枚余るということは、1ドル札の枚数は奇数です。

> 先生は3つの等しい１ドル札束に束ねようとしましたがやはり１ドルが残りました、

　3等分できたら3の倍数になるわけですが、1枚余ってしまった。ということは、3の倍数に1を足した枚数です（3の倍数から2を引いたと考えてもよい）。

>4束と5束を試しましたが、やはり1ドルが残りました。

　同じく、4の倍数に1を足した数ということになります。
　5の倍数に1を足した数でもあるということです。

> ですが１ドル札を7束に束ねると１ドル札束は等しくまとまり、１ドルは残りませんでした。

　集まった1ドル札を7等分できたということですね。つまり、7の倍数です。他の場合は1余るのに対し、この7等分だけは違っています。

　整理してみると、

１）元の数（1ドル札の枚数）を2、3、4、5で割ると1余る。
２）元の数7で割ると割り切れる。

ということになっています。１について考えてみます。

　元の数（1ドル札の枚数）を、2、3、4、5のどれで割っても1余るということは、どういう数なのか。

　2と3だけで考えてみると、例えば7は2や3で割って1余ります。13もそうです。探していくと、7、13、19、25と出てきます。これは6の倍数に1を足した数ですね。6は2と3の最小公倍数です。2と4で考えると、5、9、13、17となります。4の倍数に1を足した数ですが、2と4の最小公倍数は4ですね。

　2、3、4、5のどれで割っても1余るということは、2と3と4と5の最小公倍数で割って1余るということになります。上述したように4は2の倍数ですから、最小公倍数は、

　3×4×5＝60

ということになります。60の倍数に1を足した数が、元の数（1ドル札の枚数）になります。

　7等分できたことを考えると、60の倍数に1を足した数が7で割り切れれば、元の数ということになります。順番に確かめてみましょう。

　60×1＋1＝61→7で割り切れない（商8　余り5）
　60×2＋1＝121→7で割り切れない（商17　余り2）
　60×3＋1＝181→7で割り切れない（商25　余り6）
　60×4＋1＝241→7で割り切れない（商34　余り3）
　60×5＋1＝301→7で割り切れる（商43　余り0）

　301枚が問題文の条件を満たします。まず「答：301ドルを43人から集めた」が出ます。でもこれだけなのか？　さらに確かめてみます。

　60×6＋1＝361→7で割り切れない（商51　余り4）
　60×7＋1＝421→7で割り切れない（商60　余り1）←7を掛けてるから1余るのは当然
　60×8＋1＝481→7で割り切れない（商68　余り5）←余りが61のときと同じ！
　60×9＋1＝541→7で割り切れない（商77　余り2）←余りが121のときと同じ！
　60×10＋1＝601→7で割り切れない（商85　余り6）←余りが281のときと同じ！
　60×11＋1＝661→7で割り切れない（商94　余り3）←余りが241のときと同じ！
　60×12＋1＝721→7で割り切れる（商103　余り0）←余りが301のときと同じ！

　すると、「答：721ドルを103人から集めた」も出ます。103人は1クラスではちょっと多い人数に思えますが、これは算数の問題です。問題文にはクラスの人数が何人以下といったことは書いてありません。ならば、これも正解です。

　余りを数列として見てみると、「5、2、6、3、0、4、1、5、2、6、3、0、…」となっています。これは余り0を最初の数に選んでみると、「0、4、1、5、2、6、3」の7個の数が繰り返される数列です。

　ということは、上記の計算をさらに続けると、7個ごとに問題文の条件を満たす1ドル札の枚数とクラスの人数が出て来ることになります。

　問題条件を満たした二つから、1ドル札の枚数は721－301＝420、人数は103－43＝60と計算すると、答は以下のようになります。

「301ドルを43人から集めたのが最小の答。さらに、301ドルに420ドルの倍数を足した場合は全て答で、そのときの人数は43人に60人の倍数を足した人数が答。ただし、420を2倍なら60も2倍というように、倍数の作り方は合わせる。」

　ややこしいですが、これが問題文の条件をきっちり満たす、最後の答になります。

P.S.

　この最後の答は中学数学では、変数を使った1次方程式で解くと、明快に出てきます。

お礼

ご回答、また丁寧な解説や分析をして頂き、本当に有り難うございます。

回答No.2

lefty17

算数の範囲としては難しい部類に入りますね

２と３と４と５の最小公倍数は６０なので、その倍数に＋１をした数、
つまり　６１、１２１、１８１、２４１、・・・
と並べていき、その中で７で割り切れる数が答えになるかと思います

式で表すのは難しいですね
今時の算数はこんな頭を使う問題があるんですね

お礼

ご回答、ご指摘に感謝致します。また丁寧な解説を有り難うございます。

回答No.1

yossy_kt

ます2束、3束、4束、5束で束ねた時にいずれも1ドル余るということなので、全体はこれらの最小公倍数の倍数+1ということになります。
2, 3, 4, 5の最小公倍数は60ですから、全体は60の倍数+1です。
あとは、60の倍数+1で7の倍数になっているものを探せばよいです。
60の倍数+1は、61, 121, 181, 241, 301, 361, ...です。
この中で7の倍数になっているのは301です。
従って、全体は301ドルが1つの答えです。
検算してみると、下記のとおりです。

301 = 2 × 150 + 1
301 = 3 × 100 + 1
301 = 4 × 75 + 1
301 = 5 × 60 + 1
301 = 7 × 43

ちなみに、方程式で書くと、
60x + 1 = 7y
で、xとyが整数という条件の不定方程式です。
詳しくは説明しませんが、この不定式の解は次の通りです。

x = 7k + 5, y = 60k + 43

kに0, 1, 2, と値を入れてみると、
(x, y) = (5, 43), (12, 103), (19, 163), ....
となります。
これらを当てはめてみると、全体の金額は、301, 721, 1141, ... となります。

お礼

ご回答、また丁寧な解説や分析をして頂き、本当に有り難うございます。