置換積分についてです

質問

写真の問題をどう考えればいいですか？

x- 1/x
を微分すると
1+ 1/x^2
になるので
x- 1/x =t
とおくと、後者の方の式はだいぶ、スッキリします

しかし、それでは積分区間がおかしくなるし、そのあとどうしたらいいのかわかりません

回答よろしくお願いします！

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

I=∫(x:1/a→a)[1/(1+x^4)]dx

J=1/2∫(x:1/a→a)[(1+1/x^2)/{(x-1/x)^2+2}]dx
=1/2∫(x:1/a→a)[(1+1/x^2)/{x^2+1/x^2}]dx
=1/2∫(x:1/a→a)[(x^2+1)/{x^4+1}]dx
=1/2(k+I)

K=∫(x:1/a→a)[x^2/(x^4+1)]dx
t=1/xとおくとx=1/t
dx/dt=-1/t^2　→　dx=-dt/t^2
K=∫(x:1/a→a)[x^2/(x^4+1)]dx=∫(t:a→1/a)[(1/t^2)/(1/t^4+1)](-dt/t^2)
=-∫(t:a→1/a)[dt/(1+t^4)]=∫(t:1/a→a)[dt/(1+t^4)]=I

ゆえに

J=1/2(K+i)=1/2(I+I)=I

お礼

助かりました！
ありがとうございました！

回答No.1

jcpmutura

a>1のとき
I(a)=∫_{1/a～a}1/(1+x^4)dx…(1)
とすると
t=1/x
とおくと
dt=(-1/x^2)dx

I(a)=
∫_{1/a～a}{1/(x^4+1)}dx
=∫_{1/a～a}[-1/{(x^2)+(1/x^2)}](-1/x^2)dx
=∫_{a～1/a}[-1/{(1/t^2)+(t^2)}]dt
=∫_{1/a～a}[1/{(1/t^2)+(t^2)}]dt
=∫_{1/a～a}{t^2/(1+t^4)}dt
↓tをxに置き換えると
=∫_{1/a～a}{x^2/(1+x^4)}dx
↓これに(1)を加えると
2I(a)=∫_{1/a～a}[(x^2+1)/(x^4+1)]dx
I(a)=(1/2)∫_{1/a～a}[(x^2+1)/(x^4+1)]dx…(2)

一方後者の式は
(1/2)∫_{1/a～a}[1/{(x-1/x)^2+2}](1+1/x^2)dx
=(1/2)∫_{1/a～a}[(1+1/x^2)/{(x-1/x)^2+2}]dx
=(1/2)∫_{1/a～a}[(x^2+1)/{(x^2-1)^2+2x^2}]dx
=(1/2)∫_{1/a～a}[(x^2+1)/(x^4+1)]dx
↓これ=(2)だから
=I(a)

お礼

助かりました！
ありがとうございました！