数学 球の半径の変化率

質問

体積が1秒でuの割合で増える球の半径がrのとき、半径が1秒あたりに増える割合を求めなさい
という問題で、答えは合成関数の微分を使っていたのですが(答…u/4πr)
ut＝4πr^3/3を変形し、
r^3＝3ut/4π
r ＝(3ut/4π)^(1/3)
としてこれをtで微分すると答えが全然ちがいました。
どこがまずいか教えてください。

他の問題(円錐の高さの変化率を求める問題)ではこのやり方でも答と一緒だったのですが…

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

答…u/4πr

間違いです。正しくはu/4πr^2

単独変数関数の微分なんて途中が正しければどうやっても間違いが出ることはありません。あなたのやり方も正しい。⇒　ではなぜ結果が違うように見えるのか。⇒　答え方が間違っている、つまり本質がつかめてない、徹底性が欠如しているということです。

まず問題を忠実に数式化して計算する方法を示します。

＞体積が1秒でuの割合で増える球

d(4πr^3/4)/dt=u

4πr^2(dr/dt)=u

dr/dt=u/4πr^2　　　　　　　　　　　　　　（0）

>あなたのやりかた

r ＝(3ut/4π)^(1/3)　　　　　　　　　　　　（1）

＝(3u/4π)^(1/3)t^(1/3) (t^(1/3)の前は定数)

dr/dt=(3u/4π)^(1/3)(1/3)t^(-2/3)=(1/3)(3u/4π)^(1/3)t^(-2/3)　　　　　　　（2）

これで正解のはずです。しかしこれでは0点です。なぜか。tという何の説明もない変数が入っているからです。与えられているのはrとuだけ。従って、答えもrとuで答えなければなりません。要するに（1）からｔを求め、(2)に代入してやれば（0）になります。

(1)より

t=4πr^3/3u

(2)に代入

dr/dt=(1/3)(3u/4π)^(1/3)(4πr^3/3u)^(-2/3)=(1/3)[(3u/4π)(3u/4πr^3)^2]^(1/3)

=(1/3)(3u/4πr^2)=u/4πr^2

お礼

答を打ち間違えてしまいました、申し訳ありませんでした。
どうやら私は、tをuとrで表すことを忘れていたようです…書き換えたら答と一致しました！
途中式まで書いてくださり本当にありがとうございました。助かりました。

回答No.2

tmpname

まず、答えはu/(4πr)でないです。もう一度計算し直しましょう（rの累乗が違う）。

その上で、r ＝(3ut/4π)^(1/3) までは正しいですし、両辺をtで微分しても普通にu/(4π(r^s)) (sは1ではない何か）と一致しますが、ご自身のこの先の計算結果を書いてもらえますか？

ちなみに、r ＝(3ut/4π)^(1/3)の両辺をtで微分すると右辺はtの何乗みたいなものが出てきますが、tがuとrとで表すことができるのはいいですよね？

お礼

答を打ち間違えてしまいました…申し訳ありませんでした。
tをuとrで表す…盲点でした…それでやったら合いました！本当にありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

ut＝4πr^3/3
の左辺はある時間ｔの間の体積の「増分」ですよね？では右辺は？
これでは「増分」になっていないのではないでしょうか。

お礼

申し訳ありません、時間tは体積0から体積を増やしはじめてt秒後、の意味で使いました。私の説明が悪くご迷惑をおかけしました。
回答ありがとうございました。