三角関数の積分が出来ません。

質問

曲線を求める問題ですが、積分が全く出来ません。三角関数がとても苦手なので、わかりやすく教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

L=∫[0,2π/3]√[(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2]dθ

x=cos^3θ ⇒ dx/dθ=-3cos^2θsinθ

y=sin^3θ ⇒ dy/dθ=-3sin^2θcosθ

(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2=9cos^4θsin^2θ+9sin^4θcos^2θ=9sin^2θcos^2θ

L=∫[0,2π/3]3sinθcosθdθ=(3/2)∫[0,2π/3]sin2θdθ=(3/4)[-cos2θ][0,2π/3]

=-(3/4)[cos(4π/3)-cos(0)]=(3/4)[1-(-1/2)]=(3/4)(3/2)=9/8

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。