三角関数。。。

質問

三角関数が分かりません。
この問題の解き方を教えて下さい！

０°≦θ≦１５０°とする。
関数　ｆ(θ)＝cos２θ－２cosθは、θ＝(　　)°のとき最小値(　　)をとる。
また、最大値はθ＝(　　)°のとき(　　)である。

回答No.3

ma-cyan369

＃２について、
誤植がありましたので、訂正します。

上から３行目は「－√３/２≦cosθ≦１」です、添付画像の方も間違いですm(_ _)m

回答No.2

ma-cyan369

加法定理より、
ｆ(θ)＝cos２θ－２cosθ＝２cos^2－２cosθ－1＝２（cosθ－１/２）^2－３/２---(1)

また、添付画像より０°≦θ≦１５０°のとき、－√３/２≦cosθ≦１/２---(2)
が導かれます。

次に下の放物線のグラフより、最大値、最小値を求めてみて下さい。

なお、(1)について、式の変形方法は、

cos２θ＝cos（θ＋θ）＝cos^2θ－sin^2θ---(3)

sin^2θ＋cos^2θ＝１より、sin^2θ＝１－cos^2θ、これを(3)に代入すると、

cos２θ＝cos^2θ－（１－cos^2θ）＝２cos^2θ－１---(4)これをｆ(θ)＝cos２θ－２cosθに代入すると、

ｆ(θ)＝２cos^2θ－２cosθ－１がみちびかれるので、これを平方完成すると(1)になります。

平方完成は自力でやりましょう！！！

回答No.1

sanori

こんにちは。

加法定理
cos（ａ＋ｂ）　＝　cosａcosｂ　－　sinａsinｂ
よって、
cos（２θ）　＝　cos（θ＋θ）　＝　cos^2θ　－　sin^2θ

三平方の定理により
sin^2θ　＋　cos^2θ　＝　１
なので
sin^2θ　＝　１　－　cos^2θ

以上のことから
cos（２θ）　＝　cos^2θ　－　（１　－　cos^2θ）　＝　２cos^2θ　－　１
なので
ｆ（θ）　＝　２cos^2θ　－　１　－　２cosθ

ｘ　＝　cosθ
と置くと、
ｙ　＝　２ｘ^2　－　１　－　２ｘ
と書ける。

ただし、
０°≦θ≦１５０°
cos０°　＝　１
cos１５０°　＝　－（√３）／２
なので、ｘの範囲は、
－（√３）／２　≦　ｘ　≦　１　★

ｙ　＝　２ｘ^2　－　１　－　２ｘ
　＝　２（ｘ^2　－　ｘ）　－　１
　＝　２（ｘ^2　－　ｘ　＋　１／４）　－　１／２　－　１
　＝　２（ｘ　－　１／２）^2　－　３／２

ｙは、ｘ＝１／２　のときに、最小値　－３／２　を取る。
ｘ　＝　cosθ　＝　１／２　は、★の範囲に入っているので合格。
そのときのθ　は、cosθ　＝　１／２　なので、θ＝６０°

また、最大値は、ｙがｘの二次関数であることからわかるとおり、範囲のどちらかの端っこ、
つまり、θ＝０°（ｘ＝１）のときか　θ＝１５０°（ｘ＝－（√３）／２）のときかのどちらかの、ｙの値が大きい方です。