連立微分方程式が解けません！

質問

a(t)dt=iωexp(iΔt)b(t)/2

b(t)dt=iωexp(-iΔt)a(t)/2

上記2式において、a(0)=1,b(0)=0 が成り立つとき、a(t)及びb(t)を求めよ。

畑違いの分野なので、さっぱり分かりません……
でも、これが解けないとまずいことになるんです。
どうか、どなたか教えていただけないでしょうか？
心の底よりお願い申し上げます。

回答No.2

longsu

表記を簡単にするため、微分は´で書きます。
与式は
a´= (ωi/2)exp(iΔt)・b
b´= (ωi/2)exp(-iΔt)・a

次にa´´とb´´（第二次導関数）を計算します。やり方は一緒なのでa´´の場合だけ書きます。
a´は定数(ωi/2)と二つの関数exp(iΔt)とbの積になってなっていますので、積公式

(f・g)´=f´・g+f・g´

を使います。

{exp(iΔt) }´={exp(iΔt) }・iΔ

余計な説明かも知れませんが、まずexpを微分して、さらにexpの中の微分をかけています。

a´´=(ωi/2)〔{exp(iΔt) }・iΔ・b+{exp(iΔt) }・b´〕

ここで

(ωi/2) exp(iΔt)=a´
b´= (ωi/2)exp(－iΔt)・a

を使ってa´´を整理すると

a´´= iΔ・a´－a・(ω^2) /4

文字の並びがぐちゃぐちゃですが、/が入るとわかり難くなるので誤解を避けるためと思ってください。
この方程式は、複素数が混じっていますが、aについての線形方程式になっていますので、

y^2－iΔy+(ω^2) /4=0

の解をy=α、βとすると

a=c1・exp(αt)+c2・exp(βt) c1,c2は積分定数

実際α、βを計算してみると

α、β={Δ±(Δ^2+ω^2)^(1/2)}・i/2

となります。
同じようにして

b= c3・exp(γt)+c4・exp(δt) c3,c4は積分定数
γ、δ={－Δ±(Δ^2+ω^2)^(1/2)}・i/2

a´の式に代入すると

a´=αc1・exp(αt)+ βc2・exp(βt)
　 =(iω/2) exp(iΔt)・{ c3・exp(γt)+c4・exp(δt)}
=(iω/2) c3・exp(αt)+ (iω/2) c4 exp(βt)

後は係数比較と与条件（a(0)=1、b(0)=0）とからc1～c4の値が決まります。

iΔ+γ=α
iΔ+δ=β

となるのはいいですかね。

回答No.1

longsu

確認ですが、iは虚数単位、ωはexp(2π/3 * i)の意味でいいですか？

Δが今一よく分かりませんが、何か定数でしょうか。

左辺はa、bの一次導関数の意味でいいですか？

正直自分もよく分かっていないのかもしれませんが、上記の前提で第二次導関数を計算してやるとa,bが分離できます。

補足

説明不足で申し訳ありません。
iは虚数、ω、Δはともに単なる定数だそうです。

左辺は多分a、bの一次導関数だと思います。この2式の連立微分方程式だと言っていたので。

用語の意味や文字の読み方なんかは一通り学んだつもりですが、式をどういじったらいいのか
さっぱり分からない文系出身の者なので、具体的に式の変形を教えていただけると幸いです。