幾何学のアフィン変換の問題を教えて下さい

質問

この問題が分かりません。
問題：平面の幾何に関して
(1)アフィン変換は線分の中点を中点に移すことを示しなさい
(2)全ての3角形はアフィン合同(アフィン変換で移りあう)を示しなさい
という問題です。
分かる方、お願いいたします

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

正則1次変換w=A(z)と平行移動w=z+bを組み合わせて得られる変換
w=f(z)=A(z)+b
をアフィン変換という
(1)
線分の2端点をz0,z1
その移る先をw0,w1
中点の移る先をw
とすると
w0=A(z0)+b…(a)
w1=A(z1)+b…(b)
w=A((z0+z1)/2)+b
Aは線形だから
w={A(z0)+A(z1)}/2+b
w={A(z0)+A(z1)+2b}/2
w={A(z0)+b+A(z1)+b}/2
これと(a),(b)から
w=(w0+w1)/2
∴中点は中点に移る

(2)
2つの△を△(z0,z1,z2),△(w0,w1,w2)
A=(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1}
b=w0-Az0
f(z)=Az+b
とすると
△(z0,z1,z2)は3角形だから
z1-z0,z2-z0は1次独立だから
(z1-z0,z2-z0)は正則だから逆行列
(z1-z0,z2-z0)^{-1}も正則で
△(w0,w1,w2)は3角形だから
w1-w0,w2-w0は1次独立だから
(w1-w0,w2-w0)は正則だから
A=(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1}
も正則だから
fはアフィン変換となる

f(z0)=w0
f(z1)=Az1-Az0+w0
=A(z1-z0)+w0
=(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1}(z1-z0)+w0
=(w1-w0,w2-w0)(1;0)+w0
=w1-w0+w0
=w1

f(z2)=Az2-Az0+w0
=A(z2-z0)+w0
=(w1-w0,w2-w0)(z1-z0,z2-z0)^{-1}(z2-z0)+w0
=(w1-w0,w2-w0)(0;1)+w0
=w2-w0+w0
=w2

△(z0,z1,z2)={z|z=(1-s-t)z0+s*z1+t*z2,0≦s≦1,0≦t≦1}
△(w0,w1,w2)={w|w=(1-s-t)w0+s*w1+w*z2,0≦s≦1,0≦t≦1}

0≦s≦1,0≦t≦1
に対して
f((1-s-t)z0+s*z1+t*z2)
=A((1-s-t)z0+s*z1+t*z2)-Az0+w0
=(1-s-t)Az0+s*Az1+t*Az2-Az0+w0
=s(Az1-Az0)+t(Az2-Az0)+w0
=w0+s(Az1-Az0)+t(Az2-Az0)
=(1-s-t)w0+s(Az1-Az0+w0)+t(Az2-Az0+w0)
=(1-s-t)w0+s*w1+t*w2
だから
△(z0,z1,z2)は
アフィン変換fで
△(w0,w1,w2)に移るから
△(z0,z1,z2),△(w0,w1,w2)はアフィン合同

お礼

助かります。
どうもありがとうございます