アフィン超平面

質問

アフィン超平面の概念がいまいちよくわかりません。

エントリーの合計が１となるようなすべてのベクトルからなるN-1次元の超平面をTと定義した時、
NxN単位行列Iの列ベクトルe_1, e_2, ... , e_N はT上にある。
その時、ベクトルe=[1, 1, .... , 1] はTに垂直であることを示せ。

とあるのですが、どうやって垂直に示せばよいのか分かりません。
そもそもアフィン超平面に関する記事も少ないし、あっても非常に難解で数学の基礎がない者が見てもよく理解できません。

どなたかご存じの方がいましたら、宜しくお願い致します。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

１（はじめに）　名前にいちいち驚かないように。やろうとしているのは簡単なことです。「アフィン超平面」の概念など知らなくても大丈夫。

２（修正等）　ただ、ご質問のなかでいくつか不十分な点があるので、次のように扱うことにします。

（１）　係数（ご質問の言葉でいえばエントリー）をどの範囲で考えているか不明。一応、実数の範囲で考えることにする。

（２）　「垂直」の意味が不明。２つのベクトル a = [a1, a2, ..., aN] と b = [b1, b2, ..., bN] が垂直とは、a1b1 + a2b2 + ... + aNbN = 0 であることを指すものと考えることにする（a1, a2, ..., aN, b1, b2, ..., bN は実数）。

また、１つのベクトル a と空間 T が垂直であるとは、T のどの２点間を結ぶベクトルも a と垂直であることを指すものとする。

（３）　ご質問のなかで、「ベクトル」と「N 個の実数を座標とする点」が混同されている。他の問題ならこの２つを同一視して差し支えないこともあるが、今回の問題に関しては、この２つをきちんと区別しないと混乱の元になる。

そこで、ベクトルを表すときは、e=[1, 1, .... , 1] のように 成分を [　] で囲むことにして、点を表すときは、p=(1, 1, .... , 1) のように座標を ( ) で囲むことにする。

（４）　また、ご質問の文章を次のように修正する：

「座標の合計が１となるようなすべての点からなるN-1次元の超平面をTと定義した時、NxN単位行列Iの各列ベクトルe_1, e_2, ... , e_N の成分を座標とする点はT上にある。その時、ベクトルe=[1, 1, .... , 1] はTに垂直であることを示せ。」

若干補足する。 点 p = (p1, p2, ..., pN) がT 上にあるかどうかは、p1+p2+...+pN = 1 が成立するかどうかで決定される。

また、e_1 = [1, 0, 0, ..., 0]、 e_2 = [0, 1, 0, ..., 0]、…、e_N = [0, 0, ..., 0, 1] である。上の「e_1, e_2, ... , e_N の成分を座標とする点はT上にある」という記述は、(1, 0, 0, ..., 0)、 (0, 1, 0, ..., 0)、…、(0, 0, ..., 0, 1) のどれもが T 上の点であることを言っている。

３　（e_1, e_2, ... , e_N の成分を座標とする点がT上にあること）

これは問題になっていませんが、e_1, e_2, ... , e_N の成分を座標とする点がT上にあることは、次のように示されます：

1+0+ 0+ ...+ 0 = 1 である。したがって (1, 0, 0, ..., 0) は、T 上の点。
0+1+ 0+ ...+ 0 = 1 である。したがって (0, 1, 0, ..., 0) は、T 上の点。
…
0+ 0+ ...+ 0 +1 = 1 である。したがって (0, 0, ..., 0, 1) は、T 上の点。

４　（問題の解答）

以下が回答です。

p = (p1, p2, ..., pN) と q = (q1, q2, ..., qN) を T 上の点とする。 p から q へのベクトルは、[q1-p1, q2-p2, ..., qN-pN] である。よって、「垂直」の定義により、

1×(q1-p1) + 1×(q2 –p2) + ... + 1×(qN-pN) = 0

を示せばよい。しかるに、これは、p1+p2+ ...+pN = 1 とq1+q2+ ...+qN = 1 から明らか。

５　（参考　アフィン空間とは）

実数体上の N 次元アフィン空間とは、N 個の実数の組をひとつの点とみなして、そのような点全体からなる集合を言います。

以下は、若干難しくなるので、読み流していただければいいです。N 個の実数の組で表されるという意味で、 N 次元アフィン空間は、N次元ベクトル空間やN次元ユークリッド空間とよく似ています。しかし、アフィン空間では、ベクトル空間のように線形代数の構造が想定されていません。また、ユークリッド空間のような位相構造も想定されていません。ただ、代数多様体としての構造が想定されています。

お礼

早速のご回答誠にありがとうございます。

問題文にe_1, e_2,... は列ベクトルとあったので、ベクトルが平面上に乗っている状態をイメージしていたのですが、不安ながら辻褄をあわせるため差を取って計算しておりました。

これははっきりベクトルと記述されていても、ポイントと読み替えることができるのでしょうか？
そうであればすんなり腑に落ちます。
ただ、私の場合はe_1, e_2,...を用いて解いていましたが、より一般化させるためにp, qを使うべきでした。

しっかりとした解釈や補足まで頂きありがとうございました。
現在、この範囲を色々と読んでおりますのでまた質問するかも知れませんが、その際もしお時間ございましたら何卒ご指導の程賜われましたらと思います。