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平板を過ぎる流れについて

理想流体中の円柱を過ぎる流れを ジューコフスキー変換して平板を過ぎる 流れを求めると、 W=U(z*cosα-i√(z^2-4*a^2)sinα) と計算できました。 しかし、α=±π/2を代入すると実部が、 すなわち速度ポテンシャルが恒等的に0、 α=0,πを代入すると、虚部が、 つまり流関数が恒等的に0となって しまいます。 ジューコフスキー変換において、 α=±nπ/2を禁止する制約はなかったと 思いますが、なぜこのような矛盾が 生じてしまうのでしょうか?

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  • KENZOU
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回答No.1

ご質問のWはz平面の一様流がx軸と傾き角αをなして流れており(←その座標軸x'-y'軸を持つ平面をz'平面とする)、そのような流れの中に半径aの円柱がある場合の複素ポテンシャルは  W=U(z'+a^2/z')  (1) z'平面とz平面は角αの傾きをなしているから、流れの中の任意の点のx'軸からの角度をθとすると  z=rexp{i(θ+α)}=rexp(iθ)exp(iα)=z'exp(iα) (2) これから  z'=zexp(-iα)  (3) z平面における複素ポテンシャルは(1)(3)より  W=U(zexp(-iα)+(a^2exp(iα)/z)  (4) となります(←絵を描いてチェックしてください)。次に  ζ=z+(a^2/z)あるいはz=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2) (5) によってz平面上の半径aの円柱はζ平面(ξ-η軸)上の長さ4aの平板に写像されるから、ζ面上の流れは複素ポテンシャルは(5)を(4)に代入して  W=U(ζcosα-i√(ζ^2-4a^2)sinα)  (6) となります。これがご質問の複素ポテンシャルですね。この流れの特長としてζの十分大きいところでは(6)に右辺第2項√(ζ^2-4a^2)≒ζで、W=U(cosα-isinα)ζとなり、ξ軸と角αをなす速度Uの一様な流れになることがわかります。さて、ここでαは何かということですが、これは流れの角度でしたね。するとα=±π/2の場合はζ平面のξ軸に平行な流れを意味しているだけですし、α=0,πの場合はη軸に平行な流れを意味しているだけですね。例えばα=0の場合の速度ポテンシャルφを求めると(6)より  W=Uζ=U(z+(a^2/z))   =U(r+a^2/r)cosθ+iU(r-a^2/r)sinθ   =U(φ+iψ) (φ:速度ポテンシャル、ψ:流れ関数) ∴φ=U(r+a^2/r)cosθ となります。あとのケースはご自分で計算してみてください。

nhojutu
質問者

お礼

すみません、 W=U(z*cosα-i√(z^2-4*a^2)sinα) は、実部がU*z*cosαで、虚部が-U√(z^2-4*a^2)sinα かと勘違いしていて、 α=0を代入すると、実部がUz、虚部が0 (つまり流関数が恒等的に0=流れが存在しない) と勘違いしていました。 しかしzも複素数なので、 >実部がU*z*cosαで、虚部が-U√(z^2-4*a^2)sinα なんて単純なことは言えないんですね。 KENZOUさんの、 > W=Uζ=U(z+(a^2/z)) >  =U(r+a^2/r)cosθ+iU(r-a^2/r)sinθ >  =U(φ+iψ) (φ:速度ポテンシャル、ψ:流れ関数) >∴φ=U(r+a^2/r)cosθ の展開を見ていて気づきました。 ありがとうございます。 ちなみにですが、ζ=z+(a^2/z) の逆変換は、z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2)に加えて、 z=(ζ-√(ζ^2-4a^2)/2)もあるように思われます。 片方だけを取るのは正解なのでしょうか? 円周に戻る変換の場合、 z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2)が上側の円周に戻る変換、 z=(ζ-√(ζ^2-4a^2)/2)が下側の円周に戻る変換 ですよね? そのほかの場所については、 z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2)だけを考えれば 十分なのでしょうか? よろしくお願いいたします。

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  • KENZOU
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回答No.2

#1のKENZOUです。 >ちなみにですが、ζ=z+(a^2/z) の逆変換は、z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2)に加えて、 z=(ζ-√(ζ^2-4a^2)/2)もあるように思われます。 片方だけを取るのは正解なのでしょうか? ζ=z+(a^2/z)をzについて解くと z=(ζ±√(ζ^2-4a^2)/2)となりますね。ここで通常 z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2)を採用する理由ですが、それは次のような事情からきていると思います。zは半径aの円周および円の外側の領域で定義されていますね(|z|≧a)。z平面上の点とそれを写像したζ平面上の点は1:1に対応しています。だからζ平面での無限遠はz平面での無限遠に対応しなければなりません。つまり|ζ|=∞に対して|z|=∞が対応するのは符号がプラスの z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2) の関係式となります。

nhojutu
質問者

お礼

なるほど。 確かに、z平面に戻る変換の場合、 z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2)は円周の外側の 領域と1:1の対応ですね。 z=(ζ-√(ζ^2-4a^2)/2)は円周の内側に 変換されることがわかりました。 円柱まわりの流れを考える場合、円周の外側 だけを考えればよい、つまり z=(ζ+√(ζ^2-4a^2)/2)だけ考えればよいと。 なんとか理解できそうです。 ありがとうございました。

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