マクローリン展開の問題

質問

関数f(x)=log(1+x)のマクローリン展開を示し、収束するxの範囲および収束する半径rを求めたのですが、自分で解くと、-1<x<1に収束してしまいます。教科書等では無限大になるのですが、その理由および解き方を教えてください。

回答No.1

BLUEPIXY · ベストアンサー

よくわからないけど
－１＜ｘ＜＝１
の範囲で収束じゃなかったっけ？

補足

回答ありがとうございます。＝１になる回答は見かけたことがありません。－１＜ｘ＜１かと。そうなるまでの過程の計算がわからないのです。

回答No.3

Rossana

>ここで，右辺の一番右の積分をR_n(z)とおくと
>0≦|z|＜1であるとき
>|R_n(z)|≦|u|^(n＋1)×(0からzまでの有限な経路の長さ)
→0 (n→∞)
この部分ちょっとおかしいと思うので，訂正します．

R_n(z)≡∫[0→z]{u^(n＋1)/(1＋u)}du

ガウス平面上に描くと分かりやすいかも．
0≦|u|＜1の領域でのあるu(固定して考える)に対して，|1＋u|の最小値mとして0＜m≦|1＋u|，
|u|の最大値Mとして|u|≦M＜1
となる定数m，Mが存在し，
|u^(n＋1)/(1＋u)|＝|u|^(n＋1)/|1＋u|≦M^(n＋1)/m
とすることができる．
したがって，
0からzまでの有限な経路の長さをLとして，
|R_n(z)|≦{M^(n＋1)/m}L→0 (n→∞)

これなら，いいと思います．
数学的な厳密性にはまだまだ欠けると思いますが．

回答No.2

Rossana

収束する範囲でなく収束する半径ということなので，複素関数であり，xは複素数として考えるべきですね．
ということで，zに勝手に変更させて頂きます．
f(z)＝Ln(1＋z)

解法１）
(1＋u)(1－u＋u^2－…＋(－1)^nu^n)
＝1＋(－1)^nu^(n＋1)
⇔
(1＋u)(Σ[k=0 to n](－1)^ku^k)
＝1＋(－1)^nu^(n＋1)
u≠－1であるとき
両辺を(1＋u)で割ると
Σ[k=0 to n](－1)^ku^k
＝1/(1＋u)＋(－1)^nu^(n＋1)/(1＋u)
⇔1/(1＋u)＝Σ[k=0 to n](－1)^ku^k
＋(－1)^(n＋1)u^(n＋1)/(1＋u)
この両辺を0からz(ただし0<|z＋1|)まで積分すると
Ln(1＋z)＝Σ[k=0 to n]{(－1)^kz^(k＋1)/(k＋1)}
＋(－1)^(n＋1)∫[0→z]{u^(n＋1)/(1＋u)}du
ここで，右辺の一番右の積分をR_n(z)とおくと
0≦|z|＜1であるとき
|R_n(z)|≦|u|^(n＋1)×(0からzまでの有限な経路の長さ)
→0 (n→∞)
から
Ln(1＋z)＝Σ[k=0 to ∞]{(－1)^kz^(k＋1)/(k＋1)}
＝z－z^2/2＋z^3/3－…　(|z|＜1)

解法２)
f(z)＝Σ[n=0 to ∞]a_nz^n
a_n＝1/n!f^(n)(0) (n＝0, 1, 2, …)
と普通の方法で求める．

だから収束半径Rは
0≦R＜1
（もし，実関数としたなら収束するxの範囲は
－1＜x≦1)
以上どこか間違いがあるかもしれませんが．
収束半径が無限大というのは本当なんでしょうかね～．
う～ん，解析接続によってf(z)＝z－z^2/2＋z^3/3－…
になるんでしょうか．ちょっと分かりませんが．