極座標とベクトル

質問

平面の極座標上の点 (r,θ) をベクトルと見なすことは可能なのでしょうか？
　可能であるならば、
r1↑ = (r1,θ1)
r2↑ = (r2,θ2)
としたとき内積 r1↑・r2 や 和 r1↑+r2 はどんな定義になるのでしょう？

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

最も単純な考え方をすればxy成分に戻して

r1↑ = (r1,θ1)　⇒　r1↑=(r1cosθ1, r1sinθ1)

r2↑ = (r2,θ2)　⇒　r2↑=(r2cosθ2, r2sinθ2)

r1↑・r2↑ ＝r1cosθ1r2cosθ2+r1sinθ1r2sinθ2=r1r2(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)

　 =r1r2cos(θ1-θ2) (加法定理より)

これは幾何学的な意味合いと一致しています。

r1↑+r2↑ ＝(r1cosθ1+r2cosθ2, r1sinθ1+r2sinθ2)

これも成分の合計を成分とするベクトルということで納得できると思います。

お礼

やっぱり直交座標に直すしかないのですね。
　丁寧な説明、ありがとうございました。