【数学】行列の微分(内積・二次形式・逆行列)

質問

以下の式の証明をお願いします。また、何故、"偏"微分を用いるのかも分かりません。

内積の微分
(∂/∂x)(x^ty)=y
(∂/∂y)(x^ty)=x

二次形式の微分
(∂/∂x)(x^tAx)=(A+A^t)x

逆行列の微分
(∂/∂x)A^(-1)=A^(-1)(∂/∂x)AA^(-1)

回答No.1

bran111

こういう質問をするときは、x,yが立て行列であること、∂/∂x,∂/∂yも縦行列であることを記載すべきです。

縦行列は書きにくいので横行列xt, ytで書くと

(x^t, y^tはべき乗を示す印象が強いのでここでは使いません)

xt=(x1,x2,...xn)

yt=(y1,y2,...yn)

よって

u=xtyはベクトルx,yの内積にほかなりません。

つまり

u=xty=Σ(i=1,n)xiyi

∂u/∂xi=(∂/∂xi)(xty)=yi (i=1,2,...n)

これを縦にならべたものは縦ベクトルyになることを確認してください。単に並べて書くだけです。

つまり

(∂u/∂x)t=(∂u/∂x1,∂u/∂x2,.....∂u/∂xn)

２次形式は行列Aの成分aijを用いて

w=xtAx=Σ(i=1,n;j=1,n)aijxixj

となることを確認してください。できたら

∂ｗ/∂xi=(∂/∂xi)(xtAx)=Σ(j=1,n)(aij+aji)xj (i=1,2,...n)

となることを確認してください。

これを縦に並べると

∂ｗ/∂x＝Σ(j=1,n)(aij+aji)xi (i=1,n)

=Ax+Atx=(A+At)X

>逆行列の微分
(∂/∂x)A^(-1)=A^(-1)(∂/∂x)AA^(-1)

これは何ですか。行列の成分そのものがxiの関数という意味ですか。Aの内容を確認してください。