分数で表記された累乗

質問

膨張比の算出の計算で、解答に５の１／１.４５乗＝３.０３と書かれていました。
５＾２＝２５は分かるのですが、２０／２９乗というのがぜんぜん理解できません。
数学はなるだけ避けるようにして生息してきたので全く分かりません・・・わかりやすく教えて下さい！

回答No.4

sanori · ベストアンサー

再びＮｏ．１の者です。

>５の２９乗根同士を２０回掛け算するというのは、どのような計算をするのでしょうか？
>５を割ったり、逆数にしたりしてみましたが全くそれらしいものにはなりません。
>手計算では無理なものなのでしょうか？
>（29√５）20　とかにしてみましたが、理屈がわかっていないのでどうやって３．０３を引き出すのか分かりません。

なるほど。

まず、（29√５）20　は、全く正解です。
５の２９乗根の２０乗。
すなわち、５の２９乗×５の２９乗×５の２９乗×・・・という２０個の掛け算です。

次に、手計算できるかについてですが、
ルート（２乗根）の計算をそろばんで出来るような話は聞いたことがあるようなないような・・・自信が無いですが、少なくとも、２９乗根を手計算する方法はないような気がします。

こういう方法はどうですか。ぜひオススメ。
文房具屋さんには、片対数グラフ用紙（方眼紙）というのが売っています。これを買ってきます。
（両対数のを買ってきてもいいです。）
このグラフ用紙は、指数関数（何乗根、何乗のこと）や、その逆の対数関数をビジュアルに理解するのに、とても良いんです。

片対数グラフの縦軸に、等間隔に１，１０，１００，１０００と目盛りの見出しを書きます。
（普通の方眼紙だと間隔が「数の差」であるのに対し、片対数グラフだと間隔が、比率的な差、すなわち、割り算や掛け算になります。）
次に、２，３，４，５のところにも目盛りの見出しを書きます。（２，３，４，５は等間隔になりません。）
そして、１と５の間の区間を定規で測って、２９等分にし、２８個の刻みを入れます。
そして、１のところをゼロ番目として、そこから先程入れた刻み１個ごとに１番目、２番目、３番目・・・と数えていきます。
そして、２０番目のところが、答え（３．０３）になります。
とにかく、計算対象がなんであれ、とにかく１の場所の目盛りを基準にする、という考え方が大事です。
（正の数のゼロ乗は１なので）

なお、片対数グラフの縦軸には、ゼロは絶対に現れません。一度グラフ用紙を眺めてみれば何となくわかってきます。

それから、余談ですが、「計算尺」（けいさんじゃく＝計算する定規みたいなもの）って知ってますか？
掛け算や割り算ができる計算尺って、目盛りが片対数グラフと同じことになっているんです。

お礼

大変よく分かりました。
図書館に行って、logだの微分だのという本を見ていました。高校の頃、数学から逃げていた付けが回ってきたようです。
頑張ってエネルギーの資格試験受けたいと思います。
有難うございました。

回答No.5

hinebot

5^(20/29)
から、3.03 を引き出す場合、
対数を使えば手計算（と言っていいのかな）できます。
ただし、常用対数表または自然対数表が必要ですが。

常用対数でやってみます。

t=5^(20/29)とおきます。
両辺の常用対数をとります。
log[10]t =log[10]5^(20/29) = (20/29)・log[10]5
となります。[ ]の中は対数の底です。実際は下に小さく書きます。
このように対数をとることによって、指数（累乗）を掛け算に直すことができます。

常用対数表より log[10]5 ≒ 0.69897　なので

log[10]t = (20/29)*(0.69897) ≒ 0.48205

ここで、もう一度常用対数表を見ると
tは3.0 と3.1の間であることが分かります。

ここでは、常用対数表は参考ＵＲＬを使いました。
こんなやり方もあるということで、頭の片隅にでも置いてください。

参考URL：

http://www.hobby-elec.org/logarithm.htm

回答No.3

arukamun

5^(1/2)=√5
これが基本です。
√は２乗根です。

5^(1/29)
は
√5を29倍したものではありません。
ここでは表現できませんが、29は√の左上に小さく書きます。
ですので、こういったテキストの場合は
5^(20/29)
が一番表現として正しいのです。

で計算の仕方ですが、関数電卓を使います。
Windowsに付属の電卓でもできますので、やってみます。
電卓を起動して、[表示]→[関数電卓]で関数電卓モードにします。
5
[ x^y ]
[ ( ]
20
[ / ]
29
[ ) ]
[ = ]
で
3.034228468991971066587839838378
という答えが出たと思います。

回答No.2

edomin

Ｎ＾(1/2)　Ｎの1/2乗は
√Ｎ　を表しています。
同様に
Ｎ＾(1/3)　Ｎの1/3乗は
3√Ｎ　になります。（さんるーとＮ）
Ｎ＾(1/3)×Ｎ＾(1/3)×Ｎ＾(1/3)＝Ｎになります。

回答No.1

sanori

２９回同じ数同士を掛け算したら５になるような数を見つけたとします。
これを５の２９乗根と言います。
（例：２は４の２乗根であり、８の３乗根であり・・・）

５の２９乗根同士を２０回掛け算したものが、ご質問の数になります。

あと、こういう考え方もあります。

５のゼロ乗は１
５の１乗は５
５の２乗は２５
・・・

というふうにだんだん増えていく様子をみると、
１／１．４５という数は、ゼロと１のあいだにあるので、
５の１／１．４５乗は、１と５のあいだにある数のような気がしませんか？
（だから、１と５の中間にある３．０３という数字は不自然ではないということになるのです。）

補足

早速ご返答いただきありがとうございます。ご丁寧に教えていただき感謝の至りです。
後段の考え方意向は一応理解出来ます。
ただ、ラベルが・・・いえレベルがもっと低いのでもう少し教えて下さい。
５の２９乗根同士を２０回掛け算するというのは、どのような計算をするのでしょうか？
５を割ったり、逆数にしたりしてみましたが全くそれらしいものにはなりません。
手計算では無理なものなのでしょうか？
（29√５）20　とかにしてみましたが、理屈がわかっていないのでどうやって３．０３を引き出すのか分かりません。