累乗指数が分数の場合

質問

２×２＝２＾２＝４　　２×２×２＝２＾３＝８

累乗指数が、整数の場合は、問題ありませんが、累乗指数が分数の場合、　

２＾（３／２）・・・２の２分の３乗の答えはどうなるのでしょうか？
計算式のイメージすら湧いてきません。

また、こういう場合の数学的な専門用語はあるのですか？

回答No.5

key-boy · ベストアンサー

簡単に説明させて頂きます。
３＾1/2（３の1/2乗）とは√３のことで
２＾1/3 （２の1/3乗）とは２の3乗根といい（3乗すると２になる正の数）
　　　　√２の左上に小さく３と書きます。
ｘ＾n/m はxのn乗のm乗根の事です。
また、
３＾－２とは１/３＾２のことです。

回答No.4

zk43

一般的に、a^(n/m)=(a^n)^(1/m)で、つまり、aのn/m乗とはaのn乗のm乗
根ということです。これが定義です。
つまりm乗してa^nになる数のことですね。（プラスの方をとる）
n/mがマイナスのときはa^(n/m)=(1/a)^(-n/m)とする。
これで指数が有理数のときは定義できたことになる。
また指数が無理数xのときは、xに収束する有理数列qnに対して、a^qnの
n→∞のときの極限値をもってa^xの定義とする。
qnの取り方によらず、ただ一つの極限値に収束することも証明されます。
これで、指数が無理数のときも定義できたことになり、指数がすべての
実数の場合に定義できたことになる。

質問文の2^(3/2)は2乗して2^3=8になる数、すなわち8の平方根ですね。

回答No.3

0lmn0lmn0

三つの指数法則の中の、
２＾（ｍ＋ｎ）＝（２＾ｍ）＊（２＾ｎ）が、分数でも適用できます。
（２＾ｍ）＾ｎ＝２＾ｍｎ　も使えます。

２＾（1/2)＝ｘと置き、高等学校までの範囲ならば、ｘは正の数とします。
両辺を二乗すると、
２＝ｘ＾２、　二つの平方根の正の数は√２　　　
よって、２＾（1/2)＝√２　

２＾（３／２）
＝（２＾１）＊（２＾（1/2)）
＝２√２　　となります。

イメージは、
２＾１＜２＾（３／２）＜２＾２　

２＾（３／２）は、２と４の間に存在・・・でしょうか。

回答No.2

banakona

指数法則ってありますよね。

＞２×２＝２＾２＝４　　２×２×２＝２＾３＝８

なので　　２＾２×２＾３＝（２×２）×（２×２×２）
　　　　　　　＝２×２×２×２×２＝２＾５＝２＾（２＋３）
つまり　　２＾２×２＾３＝２＾（２＋３）

これは、指数が２や３以外の自然数のときにも成り立つことは明らかでしょう。

では本題。指数法則は、指数が有理数のときにも成り立って欲しい。そこで、
　　２＾（３／２）×２＾（３／２）＝２＾（３／２＋３／２）
　　右辺＝２＾（６／２）＝２＾３
つまり２＾（３／２）を２個かけあわせると２＾３になるということだから２＾（３／２）は２＾３の平方根の一つだと考えられます。色々な都合で、２＾３の平方根の内のプラスの方を２＾（３／２）と約束します。

以下、同様にして指数が他の有理数や実数の場合も考えられます。０以下の場合も考えてみてください。

回答No.1

bluefox-13

任意の数のa乗をさらにb乗すると、ab乗になります。
それを利用すると、1/2乗の2乗は1乗になります。
つまり、1/2乗は、もとの数の平方根ということです。