数II3次方程式が2重解をもつ条件

質問

3次方程式x^3-x^2+(a-2)x+a=0が2重解をもつとき、定数aの値いを求める。
教えてください。

ただ、お礼の仕方を検索したのですが、回答者様が載せてくださっているのURLが開けず、お礼の仕方もベストアンサーの仕方もわからなかったので、代わりに...回答してくださった方に感謝を込めてありがとうのボタンを押します。すみません。予めご了承ください。。

回答No.5

staratras

２重解をα、それ以外の解をβとする。

解と係数の関係から

2α+β=1
α^2+2αβ=a-2
α^2β=-a

これをα、β、aについての連立方程式と見て解くと

(α,β,a)=(-1,3,-3) または(α,β,a)=(1,-1,1)

答えa=-3 (このとき２重解はx=-1) 、またはa=1(このとき２重解はx=1)

回答No.4

noname#215361

x^3-x^2+(a-2)x+a
=x（x^2-x-2）+a（x+1）
=x（x-2）（x+1）+a（x+1）
=（x+1）｛x（x-2）+a｝
=（x+1）｛（x-1）^2+a-1｝
=0
これから、a=1のとき
x^3-x^2+(a-2)x+a=（x+1）（x-1）^2=0
となり、2重解はx=1、もう一つの解はx=-1

また、（x+1）｛（x-1）^2+a-1｝=0において、
2重解をx=-1であるとすると、
（x-1）^2+a-1=0にx=-1を代入して、
4+a-1=0→a=-3
これを、（x-1）^2+a-1に代入すると、
（x-1）^2-4=x^2-2x-3=（x-3）（x+1）
これから、a=-3のとき
x^3-x^2+(a-2)x+a=（x+1）^2（x-3）=0
となり、2重解はx=-1、もう一つの解はx=3

回答No.3

gohtraw

x^3-x^2+(a-2)x+a にx=-1を代入すると式の値はゼロになるので、
x=-1はこの方程式の一つの解です。そこでこの式は
(x+1)(x^2+bx+a）と因数分解できます。これを展開すると
x^2の係数は　b+1になり、元の式と係数比較すると
b+1=-1　よって　b=-2

ここでx=-1が重解だとすると、x^2+bx+a　は
(x+1)(x+a)
と因数分解でき、これを展開するとｘの係数は1+aです。これはｂ、つまり
-2と等しいのでa=-3となります。このときの解はx=-1,-3です。

また、x=-1が重解でないとすると
x^2+bx+a=x^2-2x+a=0　が重解を持つことになり、解の判別式から
4-4a=0　つまりa=1となります。このときの解はx=-1,1です。

回答No.2

mshr1962

x^3-x^2+(a-2)x+a=0
↓
x^3-x^2-2x+ax+a=0
↓
x(x^2-x-2)+a(x+1)=0
↓
x(x-2)(x+1)+a(x+1)=0
↓
{x(x-2)+a}(x+1)=0
↓
(x^2-2x+a)(x+1)=0

2重解になるaを探すのですからx+1は無視できますので
(x^2-2x+a)が(x+b)^2になればOKになるので
(x-1)^2=x^2-2x+1 から a=1 であることが判ります。
最初の式にa=1を当てはめると

x^3-x^2-x+1=(x+1)(x-1)^2=0

でxの解は-1,1,1となります。