一辺の長さがxの正方形で、厚みtで充分に薄い板にお

質問

一辺の長さがxの正方形で、厚みtで充分に薄い板において、板の電気抵抗率がσであれば、板の中心と外周の間の電気抵抗はどうなりますか？

回答No.2

Tann3

題意がはっきりしませんが、「板の中心と外周の間の電気抵抗」といっている「外周」とは、正方形の外周一周分ということでしょうか。つまり、外周全体にぐるりと「抵抗ゼロ」の導体を巻き、正方形の中心にある電圧をかけたときに、中心から外周全体にまで流れる電流を計測し、「電圧」と「電流」の関係から求まる電気抵抗値ということでしょうか。

　さらに、「厚みtで充分に薄い板」ということは、「厚さ方向には電流は均等に流れる」、つまり「正方形の平面方向だけを考えて電気抵抗を求めてよい」ということでしょうか。（実際には、表面電流とか、厚さ方向を均等には流れないことが多いが、そういった不均一さは考えなくてもよい、ということ）

　以上の解釈であれば、「正方形の中心と、外周の微小長さ Δx との間の電気抵抗値」を求め、これを正方形の全周に積分すれば求められると思います。

　分かりやすくするため、正方形の一辺の長さを L 、正方形の中心をx-y平面の原点に置き、正方形の辺がx軸、y軸に平行になるように置いたとします。正方形の各頂点は、（L/2 , L/2）（L/2 , -L/2）（-L/2 , -L/2）（-L/2 , L/2）に置かれることになります。（図が書けないので分かりにくいですが、正しく想像してくださいね）

　第1象限の鉛直方向の辺（x=L/2 一定、y=0～ L/2）上の座標（L/2 , y） に、微小長さ Δy を考え、正方形の中心とこの Δy との間の電気抵抗値を考えると、

　　　電気抵抗値＝（電気抵抗率）×（長さ）／（断面積）

ですから、原点から座標（L/2 , y）までの距離は √[(L/2)^2 + y^2] 、断面積は原点と微小長さ Δy の作る三角形の幅の平均値（(1/2) * Δy ）と厚さ t の積なので、

　　　ΔR = σ * √[(L/2)^2 + y^2] / [(1/2) * Δy * t ]　　　（１）

と書けます。

　これを y について 0 ～ L/2 で積分すれば、正方形の 1/8 に相当する三角形の電気抵抗値が求まります。
　あとは、これと等しい電気抵抗値が 8個並列接続されていると考えれば、正方形全体の電気抵抗値が求まると思います。

　計算上、（１）の積分が難しければ、電気抵抗値の逆数（コンダクタンスというらしい）

　　　A = 1/R

と置換すれば、（１）は

　　ΔA = (1/σ) * [(1/2) * Δy * t ] / √[(L/2)^2 + y^2] 　　　（２）

となって、積分の計算がしやすいでしょう。

　あとはご自分で。

回答No.1

azumayameme

厚みが薄いと、電気が通過する場所が狭くなるので抵抗が大きくなります。

電気抵抗率を用いて抵抗を求める、普通の設問では電気の通り道が”十分に狭い”というのは個人的には記憶がありませんが、出来たら問題分の全体を見せて下さい。