ドップラー効果 公式の導出

質問

ドップラー効果の公式の導き方について質問をさせていただきます
1)振動数が変化するのはどうしてでしょうか？

例えば、音源が移動するとき、その地点の音源から出る音の振動数をf0とすると、t秒間にf0×t個（波長分の）波が出ると思いますが、
結局観測者がいる地点についたとき観測される振動数はfという別の値です。
これはどうしてなのでしょうか？
振動数が途中で変わっているとも考えたのですが同じ音が途中でかわるとも思えません。
どうしても振動数の概念が分からないのですが・・・

また、観測者が移動するとき、f0の振動数が結局fになるというのもあまり理解ができません。
高校生までの知識でお願いします。
どなたかお教えいただきたく質問させていただきました。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.14

中村 拓男（@tknakamuri）

〉ufoの式は、書いてある通り、
〉ｆ＝[（ｃ＋ｖ）/c]]ｆ0で ｆ＝[（ｃ＋ｖ）/v]f0　ではありませんよ。

これは失礼、写し間違えました。
でもこの式はANo.4さんの述べておられるように観測者がvで移動する
場合なので正しいです。

ufonさんの式は音源の速度がvですから間違ってます。
式はwiki等でも確認できますから、是非確認を。

回答No.13

ufon

計算例を示します。
例えば、音源が時速36ｋｍ/h (10m/ｓ）で近づく場合、音源静止時の例えば周波数1000Hzの音波の波長は340/1000＝0.34ｍですから、
観測点で聞こえる音波の周波数はｆ＝(340+10）/0.34=1029Hzとなり、音源静止時の1000Hzより高く聞こえます。

回答No.12

ufon

ufoの式は、書いてある通り、ｆ＝[（ｃ＋ｖ）/c]]ｆ0で ｆ＝[（ｃ＋ｖ）/v]f0　ではありませんよ。
N04さんの式と同じですよ。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

う~ん、ひょっとして同じことだといいたいのかな

1)f=(c/(c―v))f0
2)f=((c+v)/v)f0

1)は世界中の教科書にかいてあるもので、私も含め、ufonさん以外の方の式
2)はあなたの独自式

です。

c≒v のときは全く違う値になることはおわかりに
なりますよね。

いずれにしても、反論は物理的にお願いします。
式の根拠を示さないと、無意味な議論が続くばかりです。

回答No.10

ufon

誤解があるようですから、再度補足しておきます。
音源が速度vで近づく時の周波数fはｆ＝（ｃ＋ｖ）/λですが、このλは音源が静止しているときのλですから
その時の周波数をｆ0とすると、λ＝ｃ/f0 となるので、
f0を使うと、ｆ＝（ｃ＋ｖ)/(ｃ/f0)＝[（ｃ＋ｖ）/c]f0　となります。
また、λ＝（ｃ＋ｖ）/ｆ　も使いますが、この時のfも音源が静止しているときのfですから、ｆ＝c/λ0となり、
λ＝[（ｃ＋ｖ）/c]λ0　となります。
実際には両方使いますので、右辺は静止時の値として通常、最初のように書いています。
音源が遠ざかるときも同じです。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>補足しておきます。c＝λｆ　の式で、cが変わらなければfもλも変わりません。
そうはならないんですよね。音速というのは空気の疎密のが空気の圧力で
伝わるときの速度なので、空気に対して静止している観測者にとって音速は
一定というのが大前提です。ここから始めないと。

波が山と谷からできているとして(^^; 山と山の空間的な間隔を波長とします。
音源の周波数がf0なら、ある山が音源から出力されてから次の山が音源から
出力される時間的間隔は1/f0で、音源の運動状能にかかわらず変わりません。

この時波長はどうなるかというと、音源が前に出した山は1/f0の間に
c/f0すすみ、その間に音源もv／f0進むので
山と山の「観測者にとっての」空間的な距離は(C―V)/f0 ということになります。
この新しい波長をλとすると c=λ・f ですから

f=(c/(cーv))・f0

ということになります。fは観測者に聞こえる周波数です。

回答No.8

ufon

補足しておきます。c＝λｆ　の式で、cが変わらなければfもλも変わりません。
cがｃ＋ｖやｃ－ｖに代わるのでλやfが変わるのです。

回答No.6

ufon

音波の進む速さすなわち音速　c　 (m/s)は、1秒間に音波の進む距離(長さ)で、周波数(振動数)　f　(Hz)は1秒間の回数ですから、音波の速さを周波数で割ると波の一つの長さが求まります。これを音波の波長と言っております。記号はλ、単位はｍで、次式で表されます。　　ｃ/f=λ
　これから、音源が速度ｖ(ｍ/ｓ)で観測地点に近づいて来るときには音速はｃ＋ｖとなりますので、ｆ＝（ｃ＋ｖ）/λとなり、周波数は高くなります。音源が止まっている時より高音に聞こえます。
　また音源が速度ｖで観測点から遠ざかるときには音速はｃ－ｖとなりますので、周波数はｆ＝（ｃ－ｖ)/λとなり、周波数は低くなり、低音に聞こえます。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

単位時間に音源の出す波の数は音源の運動とは無関係で変わりません。
でも各波の到着時刻は波を発っした時の音源の位置によって当然変わります。
つまり、ドップラー効果とは波の時間間隔が圧縮されて届いたり
引きのばされて屆く現象で、波が増えたり減ったりはしません。

回答No.4

NemurinekoNya

ついでついで、
人が音源に向かって速度uで近づく場合も考えてみましょう。

t秒後、観測者はutだけ音源に近づいたことになります。
静止していればf0tだけしか波は来ないけれど、utだけ進んでいるから、その分だけ波が余計にやって来ている。utの間にどれだけの波があるかというと、この間にある波の数をNとすると、波長はλ0だから
　λ0N = ut
になる。
　N = ut/λ0
なので、観測者が観測する波の数は、
　f0t + N = f0t + ut/λ0
1秒間あたり、観測者の観測する波の数は
　f = f0 + u/λ0
となります。波の公式から
　f0λ0 = v　→　1/λ0 = f0/v
だから、これを上の式に入れると、
　f = f0 + f0・u/v = f0(1 + u/v) = f0・(v+u)/v
となって、ドップラー効果の式が出てきます。

これで一件落着ということになりますでしょうか。