センター物理 エネルギー

質問

図2のように、ばね定数kの軽いばねの先端に質量mの小球を取り付けて静止させた、このとき、小球にばねからはたらく力と重力がつりあい、ばねの自然長からの伸びはdであった、この状態から小球に手で鉛直下向きの力を加え、ばねの自然長からの伸びが2dになる位置まで小球をゆっくり動かし、その位置で小球を固定した
問 ばねの自然長からの伸びがdから2dになる位置まで小球をゆっくり動かす間に、手が小球にした仕事Wはいくらか
解説重力の大きさをgとして、ばねの自然長からの伸びがdのとき、力のつりあいにより、mg=kdが成り立つ、ばねの自然長からの伸びがdから2dになるまで小球を動かすとき、小球に働く、重力による、位置エネルギーの変化分はΔU[1]=-mgd=-kd^2である
また、このとき、弾性エネルギーの変化分はΔU[2]=k(2d)^2/2-kd^2/2=3kd^2/2である
手が小球にした仕事Wはこれらの合計に等しいからW=ΔU[1]+ΔU[2]=kd^2/2となる

とあったのですが位置エネルギーの変化分はΔU[1]=-mgd=-kd^2の所なのですが
何で－になるんですか？変化分って絶対値じゃないんですか？基準をどこにするとも書いていないのにおかしくないですか？
手が小球にした仕事がΔU[1]+ΔU[2]となるのも分かりません

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

＞仕事の値が負になるかもしれませんよね
仕事が負になると何か困るのかな？定義上、負の仕事も
あり得るが？この問題の場合そうなるかはまた別問題だ。

＞手で下向きに力を加えて変位する向きも下向きだから
＞正と考えてよいのでしょうか？
仕事の定義からするとそうなるね。

＞E[1]+W=E[2]という関係式が出ますよね？
これは私の回答の表現を変えたものに他ならない。
移項すれば
W=E[2]ーE[1]
となる。その通り。

＞E[1]は最初の位置エネルギーとバネの弾性エネルギー、
＞でE[2]は後の位置エネルギーとバネの弾性エネルギーですよね？
この問題の場合、状態の変化があるのは小球の位置とバネの伸び
のみであり、従って位置エネルギーと弾性エネルギーのみ
考えればいい。これもその通り。ただ、言葉遣いとしては「の和」
を入れるべきだ。「○○と××」だけでは両者の何を見るのか
（和なのか、差なのか、積なのか・・・・・）が明確にならない。

ここまで来たらあとは公式を適用するだけだ。あとは自分で確認
すべきだろう。でないと力も自信もつかない。そもそもどういう
目的で質問を書き込んでいるのか知らないが、試験場ではだれも
確認してくれないぞ。

お礼

御返答有難うございます

補足

今回の場合力学的エネルギーが保存する以外の力が働いているから初めと後で力学的エネルギーは保存していませんが、力学的エネルギーが保存するのは位置エネルギー、運動エネルギー、バネの弾性エネルギーだけと考えていいんですか？今回それ以外の手の仕事が働いたので保存しませんでした

回答No.2

gohtraw

＞変化分って絶対値じゃないんですか？
基準点についてはNo1さんの仰る通りだ。そこからの変化は
増加なのか、減少なのかを区別する必要があるので、式で
表す場合には符号が必要となる。言葉にする場合だって
「○○だけ増加した」とか「××だけ減少した」と言わないと
変化を正確に記述したことにならない。

＞手が小球にした仕事がΔU[1]+ΔU[2]となるのも分かりません
手が小球に仕事をすることによって、小球およびバネが有する
力学的エネルギーに変化が生じる。従って、
（ａ）ばねの自然長からの伸びはdのとき
（ｂ）ばねの自然長からの伸びが2dのとき
の二つの状態の力学的エネルギーの差を取れば、それが求める
仕事になる。（ａ）および（ｂ）の状態で小球は静止しているので
運動エネルギーはいずれもゼロになるので考慮しなくていい。
（ａ）における位置エネルギーをU(1)、弾性エネルギーをU(２）
とし、（ｂ）におけるそれらをそれぞれU(1)'、U(2)'とすると、
（ａ）および（ｂ）における力学的エネルギーはそれぞれ
Ｕ（１）＋Ｕ（２）・・・（ア）　
および
Ｕ（１）’＋Ｕ（２）’・・・（イ）
となる。上記より、求める仕事は（イ）から（ア）を引けばいい
ので
Ｕ（１）’＋Ｕ（２）’ー（Ｕ（１）＋Ｕ（２））
　　＝（Ｕ（１）’－Ｕ（１））＋（Ｕ（２）’－Ｕ（２））
　　＝ΔＵ（１)＋ΔＵ（２）
カッコの形が異なるが適当に読み替えて。

お礼

御返答有難うございます

補足

>上記より、求める仕事は（イ）から（ア）を引けばいい
動摩擦力みたいに仕事の値が負になるかもしれませんよね、手のした仕事というのは手で下向きに力を加えて変位する向きも下向きだから正と考えてよいのでしょうか？手のした仕事をWとすると、最初の力学的エネルギーをE[1]、後の力学的エネルギーをE[2]とするとE[1]+W=E[2]という関係式が出ますよね？E[1]は最初の位置エネルギーとバネの弾性エネルギー、でE[2]は後の位置エネルギーとバネの弾性エネルギーですよね？
最初の位置を基準に取ると最初の位置エネルギーは0でバネの弾性エネルギーはkd^2/2で
後の位置エネルギーは-mgdで、バネの弾性エネルギーはk(2d)^2/2ですよね
だからkd^2/2＋W=-mgd+k(2d)^2/2という事になって
W=-mgd+3k^2/2ということですか？これに最初のつりあいの式mg=kdを代入して
kd^2/2ですか

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

＞変化分って絶対値じゃないんですか？

そんな法則はないです。文脈によりますね。
向きを意識して符号付きにする場合もあるし、絶対値で扱う場合でも、
必要なら向きの情報がどこかにあります。

＞基準をどこにするとも書いていないのに

「ばねの自然長からの伸びがdから2dになるまで小球を動かすとき」だから
「ばねの自然長からの伸びがd」が基準でしょう。

お礼

御返答有難うございます

補足

手のした仕事は球をdだけ引き伸ばしたって事ですよね、これはばねの弾性力にさからってdだけ伸ばしたって事だからkd^2/2じゃないんですか？何で重力の仕事とか関係してくるんですか？