平方根の問題について【長文失礼します】

質問

次の数が自然数となるような最小の自然数nを求めよ
（1）√60n (2)√160/n
これらを簡単にしてルートの中に残ったものが答えということはわかっています。（1）で言うと√60n=2√15nとなり、ルートの中に残ったnの係数15が答えになります。どうしてこのような計算をするのかがわかりません。誰か教えてください。🥺
【答え】（1）n=15 (2)n=10

回答No.4

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

任意の整数Nを２乗した数を「平方数」と言います。

１，４，９，１６…は平方数です。
１²＝１
２²＝４
３²＝９
４²＝１６
以下略

また、２乗してMになる実数を、√記号を使って「√M」と書きます。

整数Nを２乗した平方数にルートを被せた「√N²」は、整数Nに戻ります。

例えば、√４²＝√１６＝４、のように。

なので、問題の（１）は「60nが平方数になる最小の自然数ｎ」、（２）は「160/nが平方数になる最小の自然数ｎ」を求めれば良いです。

平方数は「ある数を２乗した数」なので、60nを平方数にするには、a、b、cを素数とした時「a²×b²×c²=60n」つまり「a×a×b×b×c×c=60n」になっていれば良いです。

60を素数の掛け算に分解すると「2×2×3×5」ですから、「a×a×b×b×c×c=60n」の式のa、b、cに2、3、5を当てはめると「2×2×3×3×5×5=60n」になります。右辺の「2×2×3×5」と左辺の「60」は同じ値なので、両辺を60で割ると「3×5=n」になります。

なので「n=15」になります。

（２）も、同じように、160を素数の掛け算に分解すると「2×2×2×2×2×5」になります。

「2×2×2×2」は平方数、「2×5」は平方数ではないので「√160/n」は「4√(10/n)」になります。

10/nが1になれば、1は平方数ですから「4√1」つまり「4」になり、自然数になります。

10/n=1をnについて解くとn=10になり、（２）の答えは10です。

お礼

長文ありがとうございます😊

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回答No.5

gamma1854

√(60*n), √(160/n) がそれぞれ自然数になるのは、
※ 根号内を素因数に分解したとき、素因数の指数がすべて「偶数」になるときです。
-------------------------
60*n = 2^2 * 3^1 * 5^1 * n　ですから、
nは最小, 3^1 * 5^1 = 15 のときということになります。

お礼

ありがとうございます!

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回答No.3

Kaneyan-R

「次の数が自然数となるような最小の自然数nを求めよ」

とあるので、√60n は自然数となりますね。
自然数は少数を含まないので、√が付かない数になります。

√aは二乗するとaになる数ですよね？
であるなら、aを二乗してやれば√が取れるわけです。
√60n=√(4×15n)=2√15nですから、√内が二乗になる数、即ち残った15が答えになります。

回答No.2

maskoto

補足
(2)について
√160/n＝√(2⁴×10/n)＝4√(10/n)
となりますが
√の中身が1となるとき
√1＝整数1
なので(10/n)が1になってくれても問題の意図を満たすことになります
nが11を超えると10/nは一未満
√一未満＝一未満なので
nが11以上では、問題の意図を満たされなくなるのは明らかです
ゆえに、nに1〜10まで順に代入して調べると、適するのはn＝10と言う事がわかります

回答No.1

maskoto

ルートの中見について
ペアが出来た数はルートの外に出せるのでペアを調べるために素因数分解してあげます
(1)でいえば
√60nなので
60×nについて素因数分解
60は素因数分解すると
60＝2×2×3×5
nは具体的にいくつなのかは、わかってないのでそのままとして
60n＝2×2×3×5×nとなり
すなわち√60n＝√(2×2×3×5×n)
と言う事がわかりました

ここでペアについて見てみると、2がペアになっているのでルートの外に出せて
√60n＝√(2×2×3×5×n)
＝2×√(3×5×n)
となることがわかります
これが整数になるためには、ルートの中身に数字が残ってはいけない→ルートの中身がすべてペアにならなければならない
そのためには、nの候補は小さい順に
n＝3×5＝15…(これでペアが出来てなかった3と5にペアが出来ました)
n＝3×5×2×2＝60…(これでもルートの中身に数が残らない)
n＝3×5×3×3
・
・
・
となるべきだとわかります
nの最小値を聞かれてるので
n＝15が答えと言う事です

なお、√60n＝√(2×2×3×5×n)
＝2×√(3×5×n)
として考えましたが
√60n＝√(2×2×3×5×n)…①
のままでも、ルートの中身のペアを考えることはできますよね！
なので①の形のままでnの候補を
n＝3×5、n＝3×5×2×2…
と見つけていくことも可能です
(2)も同様な考え方となります

お礼

長文ありがとうございました！なるほど！