永年行列式を用いた解法

質問

環状分子ＣｎＨｎのπ分子軌道に対する永年行列式Ｒｎ(λ)は線形ポリエンＣｎＨｎ₊₂の永年行列式Ｄｎ(λ)を使って
Ｒｎ(λ)＝Ｄｎ(λ)-Ｄｎ₋₂(λ)-2(-1)＾ｎ
になるらしいです。さっぱりわかりません。どうすればこうなりますか？
あとＲｎ(λ)＝0の根λi（i＝1.2.…ｎ）はどうなりますか？

回答No.1

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D_{n}を小行列式で展開すると D_{n}=λD_{n-1}-D_{n-2} となることを示すことができます。D_3,D_4,D_5 を小行列式で展開して確認してから、n のときを証明してみてください。

同じように、R_{n}を小行列式で展開すると R_{n}=λD_{n-1}-2D_{n-2}-2(-1)^n となることを示すことができます。R_3,R_4,R_5 を小行列式で展開して確認してから、n のときを証明してみてください。

Rn(λ)=0 の根は、x=2πk/n (k=1,2,...,n)として λ=-(exp(ix)+exp(-ix))=-2cosx となります。

固有ベクトルの第r成分をc_r=exp(irx)と仮定して連立方程式に代入すれば

　λexp(ix)+exp(2ix)+exp(nix)=0
　exp(ix)+λexp(2ix)+exp(3ix)=0
　　　……
　exp(i(r-1)x)+λexp(irx)+exp(i(r+1)x)=0
　　　……
　exp(i(n-2)x)+λexp(i(n-1)x)+exp(inx)=0
　exp(ix)+exp(i(n-1)x)+λexp(inx)=0

となるので、これらの式から exp(inx)=1 であれば λ=-(exp(ix)+exp(-ix))が Rn(λ)=0 の根となることが分かります。

お礼

ありがとうごさいました