中学生の確率の問題

質問

塾から出された問題です。

A.B.C　３つのさいころを同時に投げ、Aの出る目の数をa、Bの出る目の数をb、Cの出る目の数をcとし、D＝b²－４acとおく。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　D＝０となる確率を求めなさい。
（２）　D＞１となる確率を求めなさい。

A、（１）２１６ぶんの５　　　（２）１０８ぶんの５

この問題の解き方を教えて下さい。
また、さいころが３つのときの確率の問題に共通するコツとかもあれば知りたいです。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。
トライします＾＾

これは、書きだした方がいいかなと思います。

（１）から考えますね。

D=b^2-4*a*c=0
のときは、b^2=4*a*c

このようになる(a,b,c)の組み合わせを考えていけばいいです。

まずb=1のときから考えます。
このとき、1=4*a*cとなるけど、a,b,cはいずれも正の整数なのでダメ。

b=2のとき
a=1,c=1とすればＯＫ

b=3のとき　奇数＝偶数となるのでダメ

b=4のとき
(a,c)=(1,4)(2,2)(4,1)の３とおりが考えられる。

b=5のときダメ

b=6のとき(a,c)=(3,3)がＯＫ

さて、１つのさいころの目の出方は６とおりなので
３つのさいころをふると、６×６×６＝２１６通りの出方があります。

上の(a,c)の決まり方は５とおりあったので、その確率は、５/２１６となります。

続きまして（２）
こちらは（１）よりはややこしいです。

b^2-4*a*c＞1

同じように、b=1から順番に考えていきます。

b=1のとき、あてはまる整数はないのでダメ

b=2のとき、３＞４*a*cとなるのであてはまる整数なし

b=3のとき、(a,c)=(1,1)とすればＯＫ

b=4のとき、16＞4*a*c+1
15＞4*a*c
(a,c)=(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(3,1)はＯＫ

b=5のとき
25＞4*a*c+1
6＞a*c

(a,c)=(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,2)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)はＯＫ

b=6のとき

36＞4*a*c+1
35＞4*a*c

(a,c)=(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(5,1)(6,1)はＯＫ

となるので、重複をどかすと、１６／２１６＝８／１０８
となって、私も質問者さまの回答と違う答えになってしまいました＾＾

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
回答は塾の方が間違っていたようです。
とてもわかりやすく、理解することができました。

回答No.3

Dr-Field

No.1です。
(2)の解答を修正します。
b=4の時に追加：a=3の時c=1も条件を満たす。
b=5の時に追加：a=4の時のc=1、a=5の時のc=1も条件を満たす。
以上から、(1+5+10+16)/216＝32/216＝4/27

No.2 fushigichanさんの解答がヒントになりました。但し、abcの組み合わせですので、重複をどかす必要はないと考えますが、いかがでしょうか？

回答No.1

Dr-Field

(1) aもbもcも、１～６の値を取り得るから、6×6×6＝216通りの目の出方が考えられる。
一方、D＝０はb^2＝4acを意味する。
b=が奇数の時は、その式を満たすa,cの値はないから、bが偶数の時だけ考えればよい。
b=2の時はac=1であるが、a=c=1の1つの組み合わせの時だけ該当する。
b=4の時はac=4であるが、それは、a=4とc=1、a=c=2、a=1とc=4の3つの組み合わせが該当する。
b=6の時はac=9であるが、それはa=c=3の時だけ該当する。
以上より、D=０となるのは、1+3+1＝5通りであるから、求める確率は5/216である。

(2)同様に、D>1から、b^2＞4ac+1(・・・以下、与式)となる組み合わせを調べる。なお、4ac+1の最小値はa=c=1の時の5だから、bは3以上でないといけないことになる(bが1や2では、そもそも与式そのものが成立しない)。

b=3の時は、与式は8>4ac(つまり、2>ac)と同等で、これを成立させるのはa=c=1のみの1通り。
b=4の時は、与式は15>4acと同等で、これを成立させるのは（a=1の時、c=1,2,3の3通り）＋(a=2の時、c=1)の合計4通り。
b=5の時は、与式は24>4ac(つまり6>ac)と同等で、これを成立させるのは(a=1の時、c=1,2,3,4,5の5通り)と(a=2の時、c=1,2の2通り)と(a=3の時、c=1の1通り)の合計8通り。
b=6の時は、与式は35>4acと同等で、これを成立させるのは(a=1の時、c=1,2,3,4,5,6の6通り)＋(a=2の時、c=1,2,3,4の4通り)＋(a=3の時、c=1,2の2通り)＋(a=4の時、c=1,2の2通り)＋(a=5の時、c=1の1通り)＋(a=6の時、C=の1通り)の合計16通り。

以上から、(1+4+8+16)/216＝29/216が答えとなる。

(2)の答えが違うのですが、私の考えではこうなりました。もし、別の方が正しい答えを導いてこられたら、それを信用してください(^_^;)。

お礼

ありがとうございました。
回答は塾側がまちがっていたようです。（ゴメンナサイ・・・）