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PAの実装としてのZFC
- PAのモデルには標準的なものと非標準的なものがありますが、どちらも形式的な守備範囲では区別できません。
- ZFCを使って再帰的に標準モデルと非標準モデルを別々に扱うことができます。
- 算術の言語における理論Kに個体定数cを加え、可算無限個の閉論理式を公理として加えることで拡大した理論K+について、具体的にどういう意味なのかは曖昧ですが、シェーマとして無限個の公理が含まれていると考えられます。
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質問の意味が完全に理解できないし、 また、私が数学の専門家でもないので、 直接に答えることはできないが、 私なりのペアノ公理の理解を提供し、 あなたの質問への回答の助けとしたい。 ペアノ公理 (これをPAとする)のオリジナルな形は、 第9公理(帰納法の公理)が二階論理式であるため、 PAから導出される体系は完全であることが保証されない。 それで、完全であることが保証される一階論理式、 正確には公理スキーマに変換される。 この一階の体系では、自然数の集合 N が導出されるが、 N に含まれていない要素、これを非標準要素という、を持つ モデル M も出てくる。 一方、二階公理系でも、無限の数のモデルが導出されるが、 それらは、同型(モデル同士が互いに1対1で対応する)を除いて一意である。 これは一階公理スキーマが二階公理よりも弱いことによると考えられる。 (ここまでに間違いはないと思うが、以下は自信がない。 この議論については私は学んでいないので、信用せずに自分で調べること) そこで、自然数の集合 N を標準モデルとすると、 一階公理系から出る非標準モデル M を、 二階公理系を拡張して得ることを考える。 すなわち、M と N の差集合 M - N の任意の要素 c は c ∉ N (1) を公理に加えなければならない。 これを一階公理系にするには、式(1)ではなく c ≠ 0, c ≠ s(0), c ≠ s(s(0)), ・・・ (2) を公理系に加えなければならない。 これは、公理系に加えるなら(2)より (1)の方が簡単だと思えるが、 (1)の集合 N はすべての標準モデルの集合でなければいけない。 すなわち ∃c∀N(c ∉ N) 集合に対して量化すると、これは二階公理になる。 よって、最初に述べた理由により、 これを一階にするには(2)にしなくてはならない。
お礼
回答ありがとうございます、遅くなってしまって申し訳ありません。 帰納公理との関係から高階論理は勉強しなければとは、 ずっと思っていたのですが、いただいた回答をきっかけに少しずつ始めてみたいと思います。 この度はありがとうございました、参考にさせていただきます。