内容がなくても数学できるのでしょうか

質問

数理論理学についてです、以前類似した質問をしています、ご容赦ください。　

数理論理学の側面の一つとして、数学的命題の持つ内容を捨象し、記号列の生成と変形について考えていく　ということがあると思います。
最初の記号列やその変形ルールを定めることはどういったことなのかよくわかるのですが、
しかし「意味論」やそれに付随する「モデルを定めるという行為」はどういうことを行うことを表しているかよく理解できていません。
述語の意味を集合に置き換えるというような解説ではよく図やイメージに頼った説明がなされており（一階述語論理を念頭に置いています）、モデル上での言い換えとして「∀ｘｐｘ」が真なのは　すべてのｘについてｐであるときでありそのときに限る　
などと説明されています。

しかし、実際どうやってｐであることを確認するのでしょうか。
もしくは「すべてのｘがｐである」とはどういう状況を実際的には指すのでしょうか。

つまり「議論領域を決める」ということはいかなることなのか（例えば「議論領域として無限の要素を持つ何かを想定する」というのは明らかに機械的でない内容を持たせてしまっているように見えます）だったり、
また、モデル上で言い換えても判断、確認するには必ず普通の意味で人間が解釈して考えないといけないのではないだろうか
といったような「意味論という概念には曖昧性が入ってしまっているのでは」という疑念が払拭できないのです。
そしてこれで内容を取り除いているといえるのでしょうか。
（内容を与えなおしていると考えても、もし人間がどう解釈するかということで内容が決められるならば曖昧性を含んでしまうと思うのです）

なので、これらのモデルも曖昧にならないためには、なんらかの形式体系として再帰的に定義して扱う必要がある（例えば、議論領域を決めるというのはモデル側の言語において、ある種の記号変形を是とすることを表す　と定めるなど）と思うと同時に、
モデルも決められた実装であり、内容を切り取った以上それを使うからといって新しいことがわかるようになったり、できるようになったりする類のものではないと感じるのです。

ただそう考えると、モデルを定義して扱ったりすることにどういった利点があるのか不明になってしまいます（もちろん一見して関連のない体系間に類似性があることはわかったりすると思いますが・・・）。
また真の算術など再帰的に記述できないものや性質にどういう身分を与えれば思考、議論できるようになるのか分からず混乱してしまうのです。

私の論理にする理解が根本的な間違いを含んでしまっているのでしょうか。
この方面に明るい方お時間に余裕があれば指摘していただきたく、よろしくお願いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

モデルの事は詳しくないので、あなたの期待に沿うものかわかりませんが、とりあえず自分の意見を述べます。

＞しかし、実際どうやってｐであることを確認するのでしょうか。
もしくは「すべてのｘがｐである」とはどういう状況を実際的には指すのでしょうか。

　普通そこは度外視されて話は進むと思いますが、そこで仮定されている事をあえて言葉にすれば、こうなると思います。

　　・任意のxを手に取れると仮定する。
　　・すべてのxを一個々々手にとってp(x)に代入し、各xでp(x)が成り立つ事を確認する。
　　・上記が全部うまく行けば、すべてのxがp。

＞例えば「議論領域として無限の要素を持つ何かを想定する」というのは明らかに機械的でない内容を持たせてしまっているように見えます。

　完全には機械化できない事を、有限手続きというある意味身も蓋もない手法で示したのが、ゲーデルの不完全性定理と自分は思っています。不完全性定理では無限の概念を含む意味論と、有限手続きに基づく構文論が衝突した、というのが個人的な解釈です。

＞また、モデル上で言い換えても判断、確認するには必ず普通の意味で人間が解釈して考えないといけないのではないだろうか

　それはそうですね。しかしそこも普通は度外視される。結局それは、実際にやりたい事をどの程度のレベルまで論理で形式化するかの判断ではないでしょうか？。

　とりあえずこのレベルで満足しとくかと、いったん判断が下ったら「定義」ができる。そしてそこから先は「定義」の文言に忠実に従って、機械的にやりましょうと。

＞なので、これらのモデルも曖昧にならないためには、なんらかの形式体系として再帰的に定義して扱う必要がある（例えば、議論領域を決めるというのはモデル側の言語において、ある種の記号変形を是とすることを表す　と定めるなど）と思うと同時に、

　そういう本はけっこうあると思います。ラッセルなんかを手に取ると大変だが、ブルバキ数学原論の「形式的数学の記述」あたりは、初等的ではあるが、確かにそういう事をやっている気がする。

＞モデルも決められた実装であり、内容を切り取った以上それを使うからといって新しいことがわかるようになったり、できるようになったりする類のものではないと感じるのです。

＞ただそう考えると、モデルを定義して扱ったりすることにどういった利点があるのか不明になってしまいます（もちろん一見して関連のない体系間に類似性があることはわかったりすると思いますが・・・）。

　「モデルも決められた実装であり」は非常にそう思います。自分はつい先日までプログラマーとして食ってましたが、プログラミング言語と形式論理には、非常に強い体系的類似性を感じます。

　ただその決められた実装には、発見ツールとしての価値がある気がします。形式論理の後にはたいてい抽象数学がついてきますが、例えば一般位相論の中の「等式延長の原理」なんかはどうでしょう。

　「等式延長の原理」の証明自体は、はっきり言って頭の体操です。しかしそこにいたるまでの幾つもの、定義，定理，レンマ，系のけっこうな長さの連鎖がある。論理手続きを徹底的に形式化して分解・細分化する事により、目標に達する頃には、ほとんど考えないでも答えがでるような状況になっている。それは抽象数学の利点だと思います（鬱陶しいが(^^;)）。

　論理的な理論の展開に従えば、どんな定理だって最初においた明示公理と定義の中に含意されていた事にはなります。しかしその定理には論理手続きの連鎖を経て、達しなければなりません。そうやって達した定理は実際問題として、やはり新しい事実ではないでしょうか？。そういう意味で発見ツールだと言います。

　もっとも抽象化が上手く行くには、最初にどの方向へどのレベルまで形式化するかの策定が重要で、そこには人間の強い意図と妥当な判断が必要ですが（じつはオブジェクト志向もそうです）。

＞また真の算術など再帰的に記述できない・・・

　「再帰的に記述できない真の算術」が何をさすのか、わかりませんでした。ただ単純に超限帰納法を認めれば、いくらでもでっかい無限を帰納的に作り出せます（超限をつけるべきですが）。

　それがあるのでどんなにでっかい無限集合を相手にしていても、それを可算集合に分割し、可算集合をさらに有限個のグループに分割して、「点xに収束する任意の点列の集合の同値類」などと安易に言える訳ですよね？(^^;)

お礼

遅れてしまって本当に申し訳有りません。

私の考えていたことをより深く掘り下げていただいたような内容で本当に参考になりました、感謝しています。

あえて言葉にされていない、するまでもないことが前提となっていること（私のような者にとってはそのような当たり前すぎて文字になっていないところに不安があったりするのですが）があったり、発見的ツールとしての実装の働きなどを考えるとやはり数学は人間の営みなのだとの思いを強くしました。

この度は回答本当にありがとうございました。参考にしてより勉強していきたいと思います。