積分のやり方を教えてください

質問

f(x)=g(h(x))
∫f(x)dx=F(x)+C1
∫g(x)dx=G(x)+C2
∫h(x)dx=H(x)+C3

が成立するとき、これを積分するには、どの式が正解ですか？

∫f(x)dx=∫g(h(x))dx=G(h(x))+C
∫f(x)dx=∫g(h(x))dx=g(H(x))+C
∫f(x)dx=∫g(h(x))dx=G(H(x))+C

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の質問について

>ありがとうございます。
h(x)=ax
という単純な式の場合は
∫g(ax)dx=G(ax)+C
が成立しますか？

一般的には成立しません。
a=1のときに限って成立します。
>∫g(ax)dx=G(ax)+C　(a≠1,a≠0) ←　成立しない。
正：∫g(ax)dx=(1/a)G(ax)+C　(a≠0)

[注]
ANo.1で回答した公式
∫g(h(x))h'(x)dx=G(h(x))+C
で h(x)=axとおけば　h'(x)=a なので
∫g(ax) a dx=G(ax)+C
aで割って
∫g(ax)dx=(1/a)G(ax)+(1/a)C
=(1/a)G(ax)+C'

と導出できます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

info22_

>どの式が正解ですか？
全て正しくありません。

正しい積分公式は
　∫f(x)dx=∫g(h(x))dx
　∫g(h(x))h'(x)dx=G(h(x))+C
です。

補足

ありがとうございます。
h(x)=ax
という単純な式の場合は
∫g(ax)dx=G(ax)+C
が成立しますか？