昇降演算子について

質問

量子化学を勉強していて、昇降演算子というのが出てきたのですが、これが良くわかりません。

まず、参考書を見ると、いきなりLx+iLyという演算子について考えてみると始まっているのですが、
なぜこのような演算子を考えてみようと思ったのか、その目的が見えません。
まさか適当にいろんな演算子を計算してみようと思ったわけでもないと思いますし。
なにかの推測のもとで出てきたものだとは思うのですが。。

それから、確かに、計算を追っていくと、Lx+iLyという演算子ならば、それを作用させるたびに、固有値がh/2πずつ上昇するということは分かりました。
しかし、これにはどんな意味があるのかが分かりません。
物理的な意味が知りたいです。

回答よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

数学的な話だけでなんとかなる前半だけ:

これは Lz との交換関係で出てくる話なので Lz との交換関係を考えると (定数は無視して)
Lx → Ly → -Lx → -Ly → Lx
と変化していきます. これはちょうど三角関数の微分関係
cos x → -sin x → -cos x → sin x → cos x
と同じなので, 三角関数と指数関数の関係
e^(ix) = cos x + i sin x
から類推すると
Lx + i Ly
が Lz との交換関係で「うれしい」感じがするはずです.

補足

回答ありがとうございます。
確かに、演算子には微分のような性質がありますね。
他にも、[A,BC]=B[A,C]+[A,C]Bのような微分の連鎖法則みたいな性質もありますしね。

しかし、似てるってだけで、うれしい感じがするっていうのはいまいち？？でした。

ちなみに、Lzとの交換関係が、重要視されますが、なぜLxとかとの交換関係は重要視されないのですか？
というのは、参考書を見ると、LzとLとの関係や、LzとL^2との関係など、Lzばかりが書いてあるからです。
Lzが、極座標表示で示すと、一番簡単な式になっているからですかね？