高校数学,微分方程式

質問

ｘｙ‘＝ｙ＋√（ｘ＾２＋ｙ＾２）(1)（ただし、ｘ≠０）の一般解をもとめよ。

（私の解答）
(1)について、ｘ≠０より、両辺をｘで割ると、ｙ‘＝｛ｙ＋√（ｘ＾２＋ｙ＾２）｝/x
ここで、ｘについて、ｘ＞０のときｘ＝√ｘ＾２、ｘ＜０のとき、ｘ＝－√ｘ＾２より、
ｙ‘＝ｙ/x±√｛１＋（ｙ/ｘ）＾２｝(1)‘
ここで、ｙ/ｘ＝u(2)とおくと、ｙ＝ｘuより、ｙ‘＝u＋ｘu`(3)
(2)(3)を(1)に代入してｘu‘＝±√(u^2+1)
よって、∫１/√(u^2+1)du=±∫１/xdx
log｜u＋√u^2+1｜＝±（log｜ｘ｜＋C１）
ここで、ｃ１＝logｃ２とすると、log｜u＋√u^2+1｜＝±log｜ｘ｜C２
となったのですが、ここからどうすればよいのかがわかりません。
答えはC^2ｘ＾２－２Cy＝１なのですが、この続きを教えてください。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

log｜u＋√u^2+1｜＝±（log｜ｘ｜＋C１）

u＋√u^2+1＝±ｃ｜ｘ｜-u

u^2+1=ｃ^2x^2+u^2±2cu|x|

ｃ^2x^2±2c(y/x)|x|=1

ｃ^2x^2±2c|y|=1

絶対値の扱いは検討してください。

お礼

ありがとうございました。頑張ります。