ラプラス変換と自動制御

質問

自動制御には何故ラプラス変換を利用しますか。例えば、ブロック線図を解くためにラプラス変換の使う理由は何ですか。どんな特徴を持つのか。他の定理、例えばフーリエ変換などがあっても何故ラプラス変換を使うのか。

回答No.4

hinarikako

簡単に言えば、自動制御にラプラス変換を使うのは
ｓ領域からｔ領域(時間領域）に簡単に変換でき、
ｔ領域における微分方程式が単に代数演算に帰し、計算が容易になるためです。フーリエ変換は自動制御では使えません。なぜならば一般にフーリエ積分は有限確定値にならず収束しません。ラプラス変換は任意の関数ｆ（ｔ）（持続信号）に対し、収束させるために積分核は純虚数に任意の実数を付加させています。これに対しフーリエ変換は虚数だけなので、収束しません。取り扱える関数ｆ（ｔ）（信号）はエネルギー有限な関数(信号)だけです。この意味において有限区間の正弦波、パルスなどの関数のみ取り扱うことができますが、自動制御などに使われる関数
(信号）では使用できません。

回答No.3

akn1aj

確かにANo.#2のhttp://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=770325 に書かれているが、少し散漫となっていてわかりづらいのかもしれない。以下、ポイントを記す。

＞…ブロック線図を解くためにラプラス変換の使う理由は何ですか。どんな特徴を持つのか。
ある線形伝達関数G(s)=L{g(t)}[ここでL{g(t)}とはg(t)のラプラス変換]にx(t)が入力されたときの出力 y(t)を求める。X(s)=L{x(t)}, Y(s)=L{y(t)}とする。時間領域で考えるとき、注意しなければいけないのはキャパシタンス、インダクタンス、抵抗等といった線形素子でもエネルギーの蓄積・放出・消耗があり、このため時刻t（≧0）でも0≦τ≦t として、過去τの履歴が問題となるのだ。線形系だから、インパルス応答の「重ね（合わせ）の理」が成り立つ。t = τとき印加されたx(τ)のインパルス成分に対し、時刻tでτはt - τだけ過去になっておりg(t - τ)x(τ)の応答となる。線形系なのでこれを重ね合わせで積分すればよい。即ち、y(t)= g(t)＊x(t) =∫(τ= 0 to t) g(t-τ)x(τ) dτ…(1)。これがconvolution （畳み込み積分、合成積）である。つまり時間領域で応答出力は合成積 ＊となるのである。これに対し、周波数領域でのラプラス変換では（調べればわかるように、習ったと思うが）、Y(s)= G(s)X(s)…(2)と、（カスケード接続された）通常の代数積となるのだ！！これこそが最大の理由・特徴だ。

＞…例えばフーリエ変換などがあっても何故ラプラス変換を使うのか。
フーリエ変換はi) t = - ∞～∞ ii) s = iω (jωと書くときもある。）で考える。これに対し ラプラス変換ではi)’t = 0～∞ ii)’s = -σ+ iω で考える。
初期値をt=0で考えられ、sは(微分演算子として以外に)複素周波数（としての意味もあり、このときで実数部分で減衰項としての-σ（通常σ≧0）を扱えるのが、広く電気工学等で使われる理由だ。なお、ラプラス変換のミクシンスキーの演算子法の扱いもある。

回答No.2

KENZOU

このサイトのココに明快な解説が載っています。
　　　　　　↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=770325

回答No.1

mmky

参考程度に
ラプラス変換は時間ｔが正の領域で定義されているので自動制御や過渡解析に便利だからです。
過渡解析に負の時間は必要ないですからね。
フーリエ積分表示は時間が負から正の全区間ですね。
その意味でラプラス積分は半区間フーリエ積分ですね。