ラプラス変換とフーリエ変換

質問

ラプラス変換はフーリエ変換の一種らしいのですが、相関関係はどうなっているのでしょうか。フーリエ変換の物理的イメージはできますが、ラプラス変換は正直イメージできません。どなたか教えてください。

回答No.3

masudaya · ベストアンサー

>ラプラス変換では0<t<∞で、フーリエ変換では-∞<t<∞ということになると思いますが、
>時間が負になる場合も考えるということなのでしょうか。

一般にはフーリエ変換はt∈[-∞,∞]で定義するのもですが，
信号処理の本などでは,t∈[0,∞]でも定義している場合もあったかと思います.
つまり，必ずしもt∈[-∞,∞]である必要はないと言うことだと思います.
またラプラス変換もt∈[-∞,∞]で定義する両側ラプラス変換というものも存在しているようです.

そもそもが物理イメージの話しですので,ほとんど同じ積分変換と考えて問題ないと思います.
ただ，s=σ+jωですので，強制収束項のσが入っている分若干異なります.

しかし，線形性，平行移動，微分，積分などなどほとんどが
同じ公式になっていることがわかると思います，
じゃなぜ，ラプラス変換があるかというと，強制収束項のσが入っているため
フーリエ変換に比べ変換できる関数が格段に増えます.
たとえば，ステップ関数やランプ関数はフーリエ変換できなかったと思いますが
ラプラス変換では可能です.

お礼

なるほど、そうゆうことですか。丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

ur2c

確率を扱うので、特性関数 K(t) = E[exp(itX)]
http://ja.wikipedia.org/wiki/特性関数_(確率論)
が Fourier 変換で、積率母関数 M(t) = K(-it)
http://ja.wikipedia.org/wiki/積率母関数
を符号だけ変えたのが Laplace 変換 L(t) = M(-t)
と思ってます。つまり

Fourier 変換 ⇔ 特性関数 ⇒ 積率母関数 ⇔ Laplace 変換

という対応におんぶして、わかったつもりになってます。確率密度関数があれば特性関数はあるけど積率母関数はあるとは限らないという意味で、Laplace 変換の方が Fourier 変換より特殊だと思ってます。

そして Laplace 変換は微分方程式の話から Mikusinski の演算子
http://ja.wikipedia.org/wiki/演算子法
につながり、その基礎である Titchmarsh の畳み込み定理
http://en.wikipedia.org/wiki/Titchmarsh_convolution_theorem
を通じて

吉田耕作「演算子法―一つの超函数論」東京大学出版会 (1982) ISBN 978-4130640657

に行き着く、という地図です。

結局「畳み込みを掛け算にする話ね」程度の乱暴な理解です。役に立つかどうか、ご参考まで。

お礼

私の知識では理解しかねる部分もありましたが、参考になりました。

回答No.1

masudaya

どちらかというと逆です.
フーリエ変換がラプラス変換の一種です.
相関関係はほとんど同じになります.
周波数関係の場合jωがsになるイメージです.
私のイメージになりますが,フーリエ変換は
収束しない関数では求めづらいのですが
ラプラス変換は,強制収束項が
指数関数のところについているので
変換しやすくなっていると思っています.

お礼

回答ありがとうございます。ラプラス変換では0<t<∞で、フーリエ変換では-∞<t<∞ということになると思いますが、時間が負になる場合も考えるということなのでしょうか。