2次の近似式

質問

関数f(x)のx=αの近くでのようすを考えて、x=αにおいて第2次導関数までf(x)と一致するような2次関数の近似式をつくるとき、
f(α)=A、f'(α)=B、f''(α)=Cとして、g(α)=A、g'(α)=B、g''(x)=一定=Cとなるような、2次関数g(x)をきめるときまず、
g'(x)=g'(α)+∫(α→x)g''(x)dx・・・(1) =B+∫(α→x)Cdxを求めています。分からないのはここで、
∫(α→x)g''(x)dxは関数g''(x)とx=αと、あるx軸に垂直な直線で囲まれた面積なので、面積には面積しか足せないと考えると、g'(α)とg'(x)は面積を表すと思うのですが、この二つは図示できなかったので(g'(α)がｘが負のほうへずっと広がる？)(1)の等式が成り立つか疑問になりました。どなたかどうして(1)が成り立つのかを教えてください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

g'(x)=g'(α)+∫(α→x)g''(x)dx・・・(1)
を
∫(α→x)g''(x)dx=g'(x)-g'(α)
とみれば，定積分の定義式なんだが...

お礼

定義式からg'(x)を求めると、考えることもできそうですね。お返事ありがとうございます。

回答No.4

178-tall

>問文の続きで、本に回答の最後のような数式がのっています。

g'(x) = g'(α) + ∫(α→x)g''(x)dx
　　 = B + ∫(α→x) Cdx = B + C(x-α)
　　　　↓ 積分
g(x) = B(x-α) + (C/2)(x-α)^2 + 定数
　　　　↓ 境界条件
g(α) = f(α) = A

よって、
g(x) = B(x-α) + (C/2)(x-α)^2 + A

…というストーリーですかネ。

お礼

2次の近似式の計算のしかた、ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

>質問文の続きで、本に回答の最後のような数式がのっています…

g'(x) = g'(α) + { g'(x) - g'(α) }
　　　= g'(α) + ∫<α↑x> g''(x)dx
　　　= B + ∫<α↑x> Cdx
　　　= B + C(x-α)

さらに積分すれば g(x) 、… というわけでしょうかネ。

お礼

{ g'(x) - g'(α) } は∫<α↑x> g''(x)dxと同じ考えれば、自分のような疑問はでてこないみたいですね。お返事ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>関数f(x)のx=αの近くでのようすを考えて、x=αにおいて第2次導関数までf(x)と一致するような2次関数の近似式をつくるとき、
>f(α)=A、f'(α)=B、f''(α)=Cとして、g(α)=A、g'(α)=B、g''(x)=一定=C　となるような、2次関数g(x)をきめるとき　…

たとえば、
　g(x) = a(x-α)^2 + b(x-α) + c
とおくと、
　g(α) = c = A

さらに、
　g'(x) = 2a(x-α) + b
なので、
　g'(α) = b = B

そして、
　g''(x) = 2a
なので、
　g''(α) = 2a = C

…　などから、
　g(x) = (C/2)*(x-α)^2 + B(x-α) + A
を得る … というたぐいのハナシ？

お礼

質問文の続きで、本に回答の最後のような数式がのっています。お返事ありがとうございます。