三角形 面積と２辺の長さから１辺を求める方法

質問

三角形で面積と２辺の長さがわかっていれば１辺を求めることはできないのでしょうか？
できるのであれば公式を教えて下さい。お願いします。

回答No.7

staratras

ヘロンの公式を使えば一発で可能です。

具体例で示します。
三角形ABCの2辺についてAB=3,BC=4で面積が6のときCAの長さは？

CA=x 三角形ABCの面積をSとします。s=(3+4+x)/2＝(7+x)/2　とすると
ヘロンの公式から　S=√s(s-AB)(s-BC)(s-CA)=6
つまり　√((7+x)/2・(1+x)/2・(x-1)/2・(7-x)/2)=6
両辺を平方して整理すると
(7+x)(7-x)(x+1)(x-1)=576
(49-x^2)(x^2-1)=576
x^4-50x^2+625=0
(x^2-25)^2=0
x^2=25 x=5　　答えは1通り

三角形ABCの2辺についてAB=3,BC=5で面積が6のときCAの長さは？

同様に方程式を作れば
√((8+x)/2・(2+x)/2・(x-2)/2・(8-x)/2)=6
両辺を平方して整理すると
(8+x)(8-x)(x+2)(x-2)=576
(64-x^2)(x^2-4)=576
x^4-68x^2+832=0
(x^2-16)(x^2-52)=0
x^2=16 から x=4
x^2=52 から x=2√13　答えは2通り

回答No.6

info222_

三角形の面積Sと任意の2辺 b, c が分かっていれば、2辺の間の角を A として

公式　S=(1/2)bc sinA　より　sinA=2S/(bc)

A=90°つまり三角形が直角三角形のときは
　sinA=2S/(bc)=1 → S=bc/2 の関係が成り立つ。
もう１つの辺a (.>0) は三平方の定理より
　a=√(b^2+c^2)
と求まる。

同様に　B=90°のときは　b=√(a^2+c^2)
　　　　　C=90°のときは　c=√(a^2+b^2)
と求まる。

しかし
A≠90°(0<a<180°)のときは
　sinA=2S/(bc) を満たすAは2通り存在する。
　つまり
　0<A<90°であれば　A（鋭角）と (180°-A)（鈍角）の2通り
　　このとき余弦定理から
　　a=√（b^2+c^2-2bc cosA), √(b^2+c^2+2bc cosA)
　　と他の辺aが2通り存在するので一意には決まらない。

　0<A<180°であれば　A（鈍角）と (180°-A)（鋭角）の2通り
　　このとき余弦定理から
　　a=√（b^2+c^2-2bc cos(180°-A)), √(b^2+c^2+2bc cos(180°-A))
　　と他の辺aが2通り存在するので一意には決まらない。

以上をまとめると
　三角形が直角三角形であれば　a=√(b^2+c^2) または√(|b^2-c^2|)
　三角形が直角三角形でなければ　aは2通り存在し一意的には決まらない。

つまり、一般的には三角形の2辺と面積からだけでは他の辺は求められない。
すなわち、aを求めるには三角形についての条件（例えば辺bcの間のきょう角の条件：鋭角、鈍角、直角）が不足しているということです。

回答No.5

yyssaa

＞△ABCでABとACと面積Sが分かっているときにBCを求めると、
S=(1/2)AB*AC*sin∠BACから
sin∠BAC=2S/(AB*AC)・・・・・(ア)
余弦定理から
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos∠BAC・・・・・(イ)
cos∠BAC=±√(1-sin^2∠BAC)に(ア)を代入して
その結果を(イ)に代入すればBC^2が得られる
ので、その√をとるとBCが得られる。
計算すると
cos∠BAC=±√{1-4S^2/(AB^2*AC^2)}だから
BC^2=AB^2+AC^2±2*AB*AC*√{1-4S^2/(AB^2*AC^2)}
=AB^2+AC^2±2√(AB^2*AC^2-4S^2)
BCはこの√となる。
なお±の＋は∠BAC＞π/2のとき。
＞別の方法
AからBCに下ろした垂線の足をDとすると、
AB^2=BD^2+AD^2・・・・・・・・・(ウ)
AC^2=(BC-BD)^2+AD^2・・・・(エ)
(ウ)-(エ)
AB^2-AC^2=-BC^2+2BC*BD・・・・・(オ)
S=(1/2)BC*AD、AD=2S/BCを(ウ)に代入して
AB^2=BD^2+4S^2/BC^2、BD^2=AB^2-4S^2/BC^2
BD=√(AB^2-4S^2/BC^2)、(オ)に代入して
AB^2-AC^2=-BC^2+2BC*√(AB^2-4S^2/BC^2)
=-BC^2+2√(AB^2BC^2-4S^2)
AB^2-AC^2+BC^2=2√(AB^2BC^2-4S^2)
AB^4+BC^4+AC^4-2AB^2AC^2+2AB^2BC^2-2AC^2BC^2
=4AB^2BC^2-16S^2
AB^4+BC^4+AC^4-2AB^2AC^2-2AB^2BC^2-2AC^2BC^2
=-16S^2
BC^4-2(AB^2+AC^2)BC^2+AB^4+AC^4-2AB^2AC^2+16S^2=0
BC^2について解いて
BC^2=(AB^2+AC^2)±2√(AB^2AC^2-4S^2)
上の計算結果と一致する。

回答No.4

princelilac

文章だけでは分かりにくいので、図形を書きながら確認してください。

(1)長さの分かっている辺のうち一つを a とします。これが底辺になります。もう一方の辺を b とします。

(2) a に垂線 h を引きます。x に接していればどこに引いても構いません。これが高さになります。h の長さは現時点では不明です。

(3)面積を S とすると、S=1/2ah となります。

(4)数値を代入すると h の長さ(三角形の高さ)が分かります。

(5)sin h/b で a と b の角度が分かります。(三角関数表で確認します。)

(6)これで二辺夾角が判明し、三角形を特定できます。

三角関数が分からないなら、(5)以降を作図で求めます。

(5)h を通る直線 l を引きます。この時 a // l になるようにします。

(6)コンパスで b の長さを a の端(どちらでもよい)から測ります。

(7)b と h の交点が三角形の頂点になります。

回答No.3

gohtraw

判っている二辺の長さをａおよびｂ、その二辺のなす角をΘ、
三角形の面積をＳとすると、
Ｓ＝ａｂ・ｓｉｎΘ
なので、
ｓｉｎΘ＝Ｓ／ａｂ
となり、ｓｉｎΘの値は判ります。
０＜Θ＜π　の範囲でｓｉｎΘの値が与えられた場合、
それを満たすΘは二通りあるので、残る一辺の長さも
二通りあることになります。

残る一辺の長さをｃとすると、余弦定理より
ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２－２ａｂｃｏｓΘであり、
ｓｉｎとｃｏｓの関係より
ｃｏｓΘ＝±√（１－（ｓｉｎΘ）＾２）
なので、
ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２±２ａｂ√（１－（ｓｉｎΘ）＾２）

これで二通りの答えが出ます。

回答No.2

trytobe

三辺の長さから面積を求める「ヘロンの公式」からの逆算より、１辺から他辺に垂線を下ろして２辺の間の角度θの sinθ、cosθ を求めて余弦定理に持ち込むこの方法のほうが計算は楽なようです。

三角形の二辺と面積から、残りの一辺を求める 【OKWave】
http://okwave.jp/qa/q536182.html

ヘロンの公式 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

回答No.1

maiko0318

三角形が確定できないので無理かと、

１、３辺
２、２辺とその間の角
３、１辺と両端の角

が、三角形確定の条件です。