4本の辺の長さだけが分かっている場合の台形の面積公式

質問

4本の辺の長さ x, y, z, w (ただし x と z は平行で x は z よりも長い辺とする。)が分かっている場合、台形の面積の公式は以下のようになるそうなのですが、どう導き出されるのでしょうか？
S=(x+z)/4(x-z) * √{(x+y-z+w)(x-y-z+w)(x+y-z-w)(-x+y+z+w)}

すみませんが、方針だけの説明でなく、具体的な計算過程を期待いたします。

回答No.1

ichiro-hot · ベストアンサー

●これはヘロンの公式ですね。それがヒントでしょう。
台形ＡＢＣＤでＡＢ＝ｙ、ＢＣ（下底）＝ｘ、ＣＤ＝ｗ、ＡＤ＝ｚ（上底）として、
頂点ＡからＣＤに平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＣ’とすると、
ＢＣ’＝ｘ－ｚ　になることに注意して，ヘロンの公式より，
　　　Ｓ（ΔＡＢＣ’）＝√ｓ（ｓ－ｙ）｛ｓ－（ｘ－ｚ）｝（ｓ－ｗ）
　　　ただし２ｓ＝ｙ＋（ｘ－ｚ）＋ｗ＝ｘ＋ｙ＋ｗ－ｚ
●この三角形の高さをｈとすると
※ここがポイント・・・Ｓがわかり、底辺ＢＣ’がわかっているから高さｈがわかる。
Ｓ（ΔＡＢＣ’）＝ｈ×（ｘ－ｚ）/２　より　ｈ＝２Ｓ（ΔＡＢＣ’）/（ｘ－ｚ）

●台形公式
　Ｓ（台形ＡＢＣＤ）
　　　＝（ｘ＋ｚ）×ｈ/２＝（ｘ＋ｚ）×｛２Ｓ（ΔＡＢＣ’）/（ｘ－ｚ）｝×（１/２）
　　　＝（ｘ＋ｚ）×Ｓ（ΔＡＢＣ’）/（ｘ－ｚ）＝｛（ｘ＋ｚ）/（ｘ－ｚ）｝・Ｓ（ΔＡＢＣ’）

　これで、上のＳ（ΔＡＢＣ’）を使うと、与えられた式が得られますね。
　（１）式を見たときに、ヘロンの公式をすぐに思い出せるか？
　（２）三角形の面積がわかるところから、高さが求められる！
　このふたつに気づかないと大変な計算をしてしまいそうですね。

お礼

まことにありがとうございます。
その補助線を引くことがポイントですね。
http://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html