ｎ乗の同値性について（長文です）

質問

まず、２乗から
a=b⇒a^2=b^2だが、a^2=b^2⇒a=bではない。
このことの説明として、P＝｛a,b｜a^2=b^2｝、Q＝｛a,b｜a=b｝とすると、
P＝｛a,b｜aとｂの絶対値が等しい｝と言い換えられる、よって、たとえば、
P｛a,b｜(2,2),(2,-2)(-2,2)(-2,-2)}ですが、Q=｛a,b｜（２，２）、（－２、－２）｝ですから、Pの（２、－２）（－２，２）はPを満たしません。
P⇔Qとするためには、a,bの符号が等しくなるようなという条件をつける。
よくある問題として「√（ｘ－１）＝ｘを解け。」を考える。
この場合、元の方程式√（ｘ－１）＝ｘは考えずらいので、同値変形したい。
まず、√内についてｘ≧１であり、このとき、右辺のｘについて左辺≧０だから右辺≧０である必要があり、ｘ≧０
よって、全体としては、ｘ≧１という条件のもとでは両辺を２乗したｘ－１＝ｘ＾２を満たすｘは元の「√（ｘ－１）＝ｘを満たす。
では、別の説明として、関数のグラフを考える。
ｙ＝ｘ＾２というグラフはｙの値を１つ決めるとｘの値が２つ対応する。
（例えば、ｙ＝１ならば、ｘ＝±１のように）
先ほどのa^２＝ｂ＾２⇒a=bについて、先ほどの(2,2),(2,-2)(-2,2)(-2,-2)と正負それぞれのペアがでてくるのはそれが原因。
次に３乗についてです。
a=b⇒a^3=b^3が成り立つの、ではa^3=b^3⇒a=bかどうか？
これはP={a,b｜a^3=b^3｝＝｛a,bが相等しいab}ですから、P⇔Q
先ほどの上での関数の説明を試みると、
y=x^3はｙを１つ対応させるとｘは１つ対応します。
（例えばｙ＝１ならばｘ＝１、ｙ＝－８ならばｘ＝－２）
よってa^3=b^3についてもa,bが１つずつ対応するので、当然aとｂは相等しい。
以上の説明でおかしいところ、補足すべきところがあれば教えてください。
（自分はこのｎ乗問題は少し変えられただけで混乱してしまうので、きちんと自分で説明できるようにしておきたいです)

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

a^2=b^2 は a^2-b^2=0 ⇒ (a+b)(a-b)=0 と同等だから a=-b または a=b と同等

a^3=b^3 は a^3-b^3=0 ⇒ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 0
⇒(a-b){(a + b/2)^2 + (3/4)b^2}⇒(a-b)(a+b/2+i√(3/4)b)(a+b/2-i√(3/4)b) (iは虚数)
⇒a=b または a = b/2-i√(3/4)b または a = b/2+i√(3/4)b と同等

aとbが実数という条件なら a=b です。

お礼

ありがとうございました