曲線と座標が最短距離となる直線の座標について

質問

(1)曲線（例：y＝1/1000　*　(a/x　+　b)）と固定点の(2)座標（０、０）があります。

(1)曲線と(2)固定座標が「最短距離となる曲線上の座標（１）」の計算方法を教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

masudaya · ベストアンサー

xをパラメータとすると，曲線上の点は(x，a/x+b)：1/1000は簡単のためa,bの中に入れました．
すると原点と曲線状の点との距離Dは次のように表せます．

D=√(x^2+(a/x+b)^2)

実際には最小値を求めるので,ルートのなか最小になればいい．

D^2=x^2+(a/x+b)^2=x^2+b^2+2ab/x+a^2/x^2
=1/x^2(x^4+b^2*x^2+2abx+a^2)

これをxで微分して0と置いてxについて解けば最小値を求めることができます．
最大高次の部分が偶数で,係数が正なので,上の解の中に最小値があります．
(4次方程式になるので,解は4つとなり,その中のどれかが答えと言うこと)
具体的に解こうとすると,4次方程式がでるのでやっかいです．

お礼

中々お礼が出来なくて失礼しました。
再度、内容を見直したら上手く行きました。
ありがとうございました！！！

回答No.3

stomachman

c=1000
とします。曲線は
　　y = (1/c) ((a/x) + b)
という方程式で表されるってことでよろしいんでしょうかね。整理して
　　c x y = a + b x
です。この曲線上の点(x,y)と原点(0,0)との距離を|r|とすると
　　r^2 = x^2 + y^2
です。（なお、「固定点」が原点でない場合に計算を行うには、まず固定点が原点に来るように座標変換（平行移動）をしておきます。）
　さて、
　　x = r cos(θ)
　　y = r sin(θ)
を代入して極座標に変換すると、
　　c (r^2) sin(θ)cos(θ) = a + b r cos(θ)
つまり
　　(1/2) c (r^2) sin(2θ) = a + b r cos(θ)
です。この式をθで微分すると、
　　c r sin(2θ) (dr/dθ)+ c (r^2) cos(2θ) = b cos(θ) (dr/dθ) - b r sin(θ)
　さて、|r|が最小になる所を探したいので、まずはθによる微分が0になるようなr,θの満たすべき条件を調べます。すなわち
　　dr/dθ= 0
を代入して
　　c (r^2) cos(2θ) = - b r sin(θ)
となるr, θが、dr/dθ= 0を満たす事が分かります。これを直交座標に戻せば
　　c (x^2) = - by
という放物線の方程式が得られます。これと元の方程式の曲線
　　c x y = a + b x
との交点のどれかが、求める点であるということです。これらからyを消去すると
　　((c^2)/b)(x^3) + b x + a = 0
という三次方程式が得られ、その実解のうちのひとつが求める点のx座標です。（解を具体的に書くには、カルダノの公式を使わなくちゃならんので、ナカナカ大変であり、パス。）

お礼

中々お礼が出来なくて失礼しました。
再度、内容を見直したら上手く行きました。
ありがとうございました！！！

回答No.1

spring135

>y＝1/1000　*　(a/x　+　b)）

(a/x　+　b)は分子ですか分母ですか。

a/x　+　bの分母は(x+b)ですか、xだけですか。

最後の）は対応が取れていません。何の意味ですか

お礼

中々お礼が出来なくて失礼しました。
再度、内容を見直したら上手く行きました。
ありがとうございました！！！