最短距離の量は保存されるか

質問

ｘｙ平面に直線と円があり、その最短距離は、直線上の点ｐ、円上の点ｑのときとする。直線と円をそれぞれｘ軸方向にａ倍、ｙ軸方向にｂ倍した図形の最短距離は、点ｐ、点ｑをそれぞれｘ軸方向にａ倍、ｙ軸方向にｂ倍した点の距離になるかどうか。
　図形の性質から、そうなる、そうならない、とわかりやすい説明が付かないか考えています。よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１さんと同様に、a ≠ b のときは保存されないと思います。

　無限大を使った次のような説明はいかがでしょうか。

　原点を中心に持つ単位円と　直線ｙ＝ｍｘ＋ｎ　（ｍ≠０、ｎ＞０）　があるとします。
　（ちなみに、このときの最短距離は、ｄ＝ｎ/√(ｍ^2+1) －１　となります。）

　さて、ここでｘ軸方向だけにａ倍し、その倍率を無限大にします。（ａ→∞）
　このとき、点ｐと点ｑは、ａ→∞　に伴い、無限大の距離に引き離されます。
　他方、拡大された楕円と直線との最短距離を結ぶ線分は限りなくｙ軸に近づき、その最短距離は　ｎ－１　に収束します。

　従って、ａ→∞　に伴い、点ｐ、点ｑの距離は無限大に発散するのに対し、拡大された楕円と直線との最短距離は有限値に収束するので、両者の距離は保存しないという説明です。

　いかがでしょうか。

お礼

返事が遅くなりました。

最小値だった値が、ａ倍することで、最小値でなかった値より
大きくなり、いずれは必ず逆転するということですね。
言われてみればその通りですね。
丁寧にありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

a ≠ b ならなりません. 直角が保存されないので.