解法を

質問

(1)次の極限値を求めよ。
lim(θ→０)θ^3/tanθ-sinθ

(2)a,bを定数とする。f(x)=asin^2x+bcos^2xがf(π/12)=1+√３,f'(π/12)=-2を満たすときのa,bの値を求めよ。

答えは
(1)２
(2)a=3,b=-1

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

(1)
lim[θ→0](θ^3/(tanθ-sinθ)) の事ですね。
(※lim(θ→０)θ^3/tanθ-sinθ と書くと、(lim[θ→0]θ^3/tanθ) -sinθという意味になってしまいます。)

適当に式変形して tanθ-sinθを何かの積に分解すれば良いです。例えば、

tanθ-sinθ
　= tanθ×(1-sinθ/tanθ)
　= tanθ×(1-cosθ)
　= tanθ×(1-cos^2θ)/(1+cosθ)
　= tanθsin^2θ/(1+cosθ)
よって、
　θ^3/(tanθ-sinθ)
　　= (θ/tanθ)×(θ/sinθ)^2×(1+cosθ)
ここで、θ→0に対して
　θ/tanθ→ 1,
　θ/sinθ→ 1,
　(1+cosθ) → 2
なので、
　θ^3/(tanθ-sinθ) → 1×1×2 = 2,
　lim[θ→0]θ^3/(tanθ-sinθ) = 2■

(2)
半角の公式 sin^2 x = (1-cos(2x))/2, cos^2 x = (1+cos(2x))/2 を f(x) に代入すると、
　f(x) = (a+b)/2 + ((b-a)/2) cos(2x).
f(π/12) = (a+b)/2 + ((b-a)/2) cos(π/6)
　= (a+b)/2 + √3(b-a)/4　=1+√3…(1)
f'(π/12) = - (b-a) sin(π/6)
　= - (b-a)/2　=-2 …(2)

(2) より (b-a)/2 = 2,
(1) より　(a+b)/2 = 1+√3 - (√3/2) (b-a)/2 = 1,
a = (a+b)/2 - (b-a)/2 = 1-2 = -1,
b = (a+b)/2 + (b-a)/2 = 1+2 = 3□

何か答えが逆ですね…問題か答えを写し間違えていないでしょうか。
(あるいはこちらが何処かでミスしているかもしれませんが、考え方は参考になると思います。)

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。助かりました。