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「ならば」について
「ならば」の解釈について困っています。 ならばの意味は「Pが真であるときに必ずQも真である」ということですよね。 たとえば「x^2=2 ⇒ x=√2」という命題が偽なのはなぜですか？ちゃんと「Pが真であるときに必ずQも真である」というふうになってると思うんですが...。（x^2=2は真である仮定します。）
- doragonnbo-ru
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#18 ＞証明に「逆に」とありますが、なぜ必要 ＞なんでしょうか？ 前半は、もし存在するならこの形になると いうことを示したもの。つまり、まだxの存在 はいえてない。 後半は、実際それが解になっていることを 示したもの。 抜けてると存在性についての証明が抜けて しまうから省略するとマズイです。 丁寧な本だと、前半は一意性についてだよ、 後半は存在性についてだよ、と書いてくれ てたりします。
その他の回答 (17)
#17 ＞なぜその証明で一意性が言える ＞のでしょうか？ 書き方が初心者に不親切なだけでしょう。 xについて解けているのでzもその値にな るわけで。 敢えて「なぜ」と問うほどではないです。
補足
証明に「逆に」とありますが、なぜ必要なんでしょうか？
＞P⇒Qという命題はすべてのPが真である ＞ときに必ずQも真である。 「すべて」の使い方が変だと思います。 Pがいろいろ変化するということですか？ ＞では「a・x=b ⇒ x=a'・b」という命題におい ＞てどのようにしてx=a'・bがすべてa・x=bにお ＞いて真であることが分かるのでしょうか？ 「すべて」をどういう意味で使っているのでしょう？ 「すべて」を見なかったことにすると単にa'がaの 逆元であることを使ってるだけですよね。 ＞a・x=bに左から逆元をかけただけですべて ＞の解を得られるのでしょうか？ ここでも「すべて」をどういう意味で使っている のか。一意性のことを言っているのだろうか。 一意性を示したいなら a・x=b, a・z=bならばx=z というのを示さないといけないわけで。
補足
「すべての」は余計でした...,。 ＞一意性を示したいなら a・x=b, a・z=bならばx=z というのを示さないといけないわけで。 その証明方法でいいと思ったんですが、本には前に書いた証明が書いてありました...。 なぜその証明で一意性が言えるのでしょうか？
その補足に書いた例と質問の 「ならば」をどう繋げたいんですか？
補足
P⇒Qという命題はすべてのPが真であるときに必ずQも真である。 では「a・x=b ⇒ x=a'・b」という命題においてどのようにしてx=a'・bがすべてa・x=bにおいて真であることが分かるのでしょうか？ a・x=bに左から逆元をかけただけですべての解を得られるのでしょうか？ ということです。 何回もありがとうございます...
＞一意的かどうか示したいのでは？ えーっとその「証明」とやらはあなた が作ったのではなくて誰かが作った もので、それについての質問という ことですか？ もうすこし他人にわかるように書いて くださいね。 存在しなくてもいいの？ 一意性を示したいのだとしたら、 2つあると仮定したら実は同じだった というようにしないといけません。 しかしあなたが書いた「証明」は そうなっていません。
補足
この証明は私が書いたものではありません。 本に書いてありました。(群論の基礎 永尾汎) 回答者さんの証明方法(2つあるとかていして)は別の本にありました。
存在を示したいのに存在を仮定してはマズイでしょ。
補足
一意的かどうか示したいのでは？
#11ですが、補足に書かれた「証明」は 全く証明になってませんよ。 っていうか滅茶苦茶。
補足
「証明」自体は完成していません。 ただ、途中の「a・x=b ⇒ x=a'・b」で引っかかっただけです。 完全な証明を載せます 証明 a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b よって「a・x=b ⇒ x=a'・b」 逆にx=a'・bとすればa・x=bとなる。 同様にy・a=bの解はy=b'・a
- kmee
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> 何を持ってP→Qを言えるのでしょうか？ P⇒Qが真である、と言いたいのなら、「 P⇒Qであることを証明する」 P⇒Qが偽である、と言いたいのなら、「 P⇒Qでないことを証明する」 数学では、それしか方法は無いでしょう。 証明方法はケースによります。 「定義より自明」みたいな簡単なものから、「フェルマーの最終定理」のような複雑なものまで。 「P⇒Qみたいだし、反例も見つかってないけど、証明はできていない」という状態では P⇒Q が真とも偽とも言えません。 「○○予想」みたいな未解決問題は、正しいとも正しくないとも言えない状態です。 「x^2=2 ⇒ x=√2」の例なら、 x=-√2 という反例があるので、偽だと証明できます。 また、真偽を述べるときに、何を対象にしているか、も重要です。 今回、なにも条件が書いてないので 「全ての事象 xについて」と考えています。 あるいは、x^2の計算ができるので「xは全ての実数/複素数」と考えています。 x=-√2 は、この対象となりえるので、反例として利用できます。 しかし、対象が変われば、話は変わってきます。 xを「x≧0の実数」とすれば、 x=-√2 は対象外となり、反例とはなりません。 よって「x≧0の実数 のとき x^2=2 ⇒ x=√2」は真です。 xを整数とすれば、 x^2=2となるxは存在しません。 よって、 x^2=2は常に偽です。 偽⇒Q は常に真です。 よって、「xが整数のとき x^2=2 ⇒ x=√2」は真です。
お礼
「証明」自体は完成していません。 ただ、途中の「a・x=b ⇒ x=a'・b」で引っかかっただけです。 完全な証明を載せます 証明 a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b よって「a・x=b ⇒ x=a'・b」 逆にx=a'・bとすればa・x=bとなる。 同様にy・a=bの解はy=b'・a
補足
次の例はどうでしょう。 単位元Iをもつ半群Sの元aが逆元a’を持つならば、任意の元bに対してa・x=b, y・a=bとなるx、yが一意的に定まる。 証明 a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b よって「a・x=b ⇒ x=a'・b」 この場合、なぜx=a'・bがa・x=bのすべてを満たすxの解だとわかるのでしょうか。 a・x=bからxの解を導き出すのになぜ左から逆元をかけるだけで「全てのxを網羅できている」と確信できるのでしょうか。 左から逆元をかけただけではa・x=bの解は足りず、したがって 「a・x=b ⇒ x=a'・b」は成り立たないかもしれないじゃないですか よろしくお願いします。
えっと、混ぜっ返すようですがホントに偽なん ですか？ ”任意の実数xに対して「x^2=2 ⇒ x=√2」” であれば偽といえますが、一方、 ”ある実数xが存在して「x^2=2 ⇒ x=√2」” という命題を考えてみると、x=√2という実数x が存在するわけですから真です。 では「x^2=2 ⇒ x=√2」は真か偽かというと xという変数を含んでいて判定できない。 つまり、真でもなければ偽でもない。 ついでですが、「⇒」という記号がでてきて わからなくなったら、 「P⇒Q」を「（￢P）∨Q」と読み替える といいです。 「￢」は否定、「∨」は「または」を表す記号です。
お礼
「証明」自体は完成していません。 ただ、途中の「a・x=b ⇒ x=a'・b」で引っかかっただけです。 完全な証明を載せます 証明 a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b よって「a・x=b ⇒ x=a'・b」 逆にx=a'・bとすればa・x=bとなる。 同様にy・a=bの解はy=b'・a
補足
次の例はどうでしょう。 単位元Iをもつ半群Sの元aが逆元a’を持つならば、任意の元bに対してa・x=b, y・a=bとなるx、yが一意的に定まる。 証明 a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b よって「a・x=b ⇒ x=a'・b」 この場合、なぜx=a'・bがa・x=bのすべてを満たすxの解だとわかるのでしょうか。 a・x=bからxの解を導き出すのになぜ左から逆元をかけるだけで「全てのxを網羅できている」と確信できるのでしょうか。 左から逆元をかけただけではa・x=bの解は足りず、したがって 「a・x=b ⇒ x=a'・b」は成り立たないかもしれないじゃないですか
- stomachman
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はい。凡人でーす。 > 「Pが真であるときに必ずQも真である」 他にも、「Pでないか、またはQである」「PであってしかもQではない、ということはない」などの言い換えができます。これらの言語表現で命題を読んでみれば、一層深い意味が読み取れるようになるでしょう。 > 同値ということがわからないときです。でも敷を弄ってみたらPからQがでてきた、そういう時はどういうふうにすればあ良いのでしょうか まずは「pが2より大きい素数ならば、pは奇数である」という命題を証明してごらんなさい。 できました？できましたね。さて、「奇数」と「2より大きい素数」とは同値ではない。（もちろん、「奇数」は「2より大きい素数」と「『2より大きい素数』ではない奇数」に分類できる。これは「x^2=2となるx」が「x=√2であるx」と「x=√2ではなくx^2=2となるx」に分類できるのと同じ事情。）また、（「x^2=2となるx」の場合と違って）「2より大きい素数」をすべて列挙するということはできないから、「2より大きい素数」の正体がすっかり分かっているというわけではない。 けれども、上記の命題は実に簡単に証明できる。そして、証明できたということは、この命題は正しい。 こういう時に「どういうふうにすればあ良い」かというと、単に、使える時に使えば良いんです。つまり、以後、pは2より大きい素数である、というときには、「あー、それならpは奇数だな」と正しく推論することができる。
お礼
「証明」自体は完成していません。 ただ、途中の「a・x=b ⇒ x=a'・b」で引っかかっただけです。 完全な証明を載せます 証明 a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b よって「a・x=b ⇒ x=a'・b」 逆にx=a'・bとすればa・x=bとなる。 同様にy・a=bの解はy=b'・a
補足
次の例はどうでしょう。 単位元Iをもつ半群Sの元aが逆元a’を持つならば、任意の元bに対してa・x=b, y・a=bとなるx、yが一意的に定まる。 証明 a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b よって「a・x=b ⇒ x=a'・b」 この場合、なぜx=a'・bがa・x=bのすべてを満たすxの解だとわかるのでしょうか。 a・x=bからxの解を導き出すのになぜ左から逆元をかけるだけで「全てのxを網羅できている」と確信できるのでしょうか。 左から逆元をかけただけではa・x=bの解は足りず、したがって 「a・x=b ⇒ x=a'・b」は成り立たないかもしれないじゃないですか
- gyakutennzizou
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青年よ。。哲学を学んだ事もないような、凡人の意見を取り入れては、君も凡人で終わるであろう。 私は、すべては、極めると逆転する。。陰陽逆転の法則、の世界で初めての、矛盾を解消する哲学の、提唱者である。 そして、時間の正体を、世界で初めて、数式で証明した、天才でもある。。 。。 ならばとは？？、まったく、違った立場からの、思考である。 解りやすく説明しよう。。 。。 世界には、７０億の人口がある。しからば、７０億の意見が存在する。 つまり（Ａ）、x^2=2 が正しいと信じている人物には、正しい意見である。しかし、それを否定する意見（Ｂ）も、また正しいのである。 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 この事は（Ａ）、x^2=2 が正しいのであれば、それを否定する意見（Ｂ）は、誤りである。。と言う事である。 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 しかし、本当は、これは、誤りであり、x^2=2 を否定して、誤りであるとする、意見が、正しいと思考している人物には、x^2=2 誤りなのである。 つまり、すべては、極めると逆転するのである。 このような事を、陰陽逆転の法則、と、私は、個人的に呼ぶ事にした。。 青年よ、私の言葉を信じて、君も天才に、チャレンジせよ。。 馬鹿げた、凡人の、主張に、耳を貸すなかれ。。 以上です。 逆転地蔵 。
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お礼
質問の趣旨がずれたので一回ここで切って出直してきます！ ありがとうございました！