「ならば」について

質問

「ならば」の解釈について困っています。
ならばの意味は「Pが真であるときに必ずQも真である」ということですよね。

たとえば「x^2=2　⇒　x=√2」という命題が偽なのはなぜですか？ちゃんと「Pが真であるときに必ずQも真である」というふうになってると思うんですが...。（x^2=2は真である仮定します。）

回答No.19

noname#199771 · ベストアンサー

#18
＞証明に「逆に」とありますが、なぜ必要
＞なんでしょうか？

前半は、もし存在するならこの形になると
いうことを示したもの。つまり、まだxの存在
はいえてない。

後半は、実際それが解になっていることを
示したもの。

抜けてると存在性についての証明が抜けて
しまうから省略するとマズイです。

丁寧な本だと、前半は一意性についてだよ、
後半は存在性についてだよ、と書いてくれ
てたりします。

お礼

質問の趣旨がずれたので一回ここで切って出直してきます！

ありがとうございました！

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

>「x^2=2　⇒　x=√2」という命題が偽なのはなぜですか？ちゃんと「Pが
>真であるときに必ずQも真である」

P(x)=A(x)ならばB(x) は 変数 x に対して

　A(x)が真のときB(x)は真、A(x)が偽のときB(x)は真でも偽でもよい。

というパラメータ付きの命題を表すこともあるし、

あらゆる x に関して 上の命題が真という意味のこともあります。

後者なら x = -√(2) では成り立たないので　偽。

お礼

「証明」自体は完成していません。
ただ、途中の「a・x=b　⇒　x=a'・b」で引っかかっただけです。

完全な証明を載せます
証明
a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b
よって「a・x=b　⇒　x=a'・b」
逆にx=a'・bとすればa・x=bとなる。
同様にy・a=bの解はy=b'・a

補足

次の例はどうでしょう。

単位元Iをもつ半群Sの元aが逆元a’を持つならば、任意の元bに対してa・x=b,　y・a=bとなるx、yが一意的に定まる。

証明
a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b
よって「a・x=b　⇒　x=a'・b」

この場合、なぜx=a'・bがa・x=bのすべてを満たすxの解だとわかるのでしょうか。

a・x=bからxの解を導き出すのになぜ左から逆元をかけるだけで「全てのxを網羅できている」と確信できるのでしょうか。

左から逆元をかけただけではa・x=bの解は足りず、したがって
「a・x=b　⇒　x=a'・b」は成り立たないかもしれないじゃないですか

回答No.6

asuncion

＞Pが真であるときに必ずQも真である

なっていません。
反例：x = -√2

補足

たしかに、x=-√２のときに命題Qは真となりませんね。

今回はx^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということが事前に分かっているということがあるので、P→Qが偽であることがわかりました。

しかしそれがわからない時はどうでしょうか？その時は何を持ってP→Qを言えるのでしょうか？

つまり、x^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということがわからないときです。でも敷を弄ってみたらPからQがでてきた、そういう時はどういうふうにすればあ良いのでしょうか

回答No.5

chie65536（@chie65535）

＞たとえば「x^2=2　⇒　x=√2」という命題が偽なのはなぜですか？ちゃんと「Pが真であるときに必ずQも真である」というふうになってると思うんですが...。

なってませんよ。

ｘが「-√2」だったらどうなるでしょう？

Pは真がけどQは偽です。

補足

たしかに、x=-√２のときに命題Qは真となりませんね。

今回はx^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということが事前に分かっているということがあるので、P→Qが偽であることがわかりました。

しかしそれがわからない時はどうでしょうか？その時は何を持ってP→Qを言えるのでしょうか？

つまり、x^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということがわからないときです。でも敷を弄ってみたらPからQがでてきた、そういう時はどういうふうにすればあ良いのでしょうか

回答No.4

matsu_jun

doragonnbo-ruさん、こんにちは。

「ならば」の解釈は間違っていませんよ。
間違っているのは、「=」の解釈です。
x=√2
というのは、「xは√2という一意の解を持つ」ということで、これを言い換えると
「xは√2以外の値を取らない」
ということになります。

そうすれば、ANo1さんがおっしゃるように、xは-√2という解もあり得るため、例示した命題は
偽であることが分かります。

x±√2　とすれば、命題は真になりますよ。

補足

たしかに、x=-√２のときに命題Qは真となりませんね。

今回はx^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということが事前に分かっているということがあるので、P→Qが偽であることがわかりました。

しかしそれがわからない時はどうでしょうか？その時は何を持ってP→Qを言えるのでしょうか？

つまり、x^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということがわからないときです。でも敷を弄ってみたらPからQがでてきた、そういう時はどういうふうにすればあ良いのでしょうか

回答No.3

naniwacchi

「Pが真であるときに必ずQも真である」で、「必ず」Qも真とはなってないですよね。

補足

たしかに、x=-√２のときに命題Qは真となりませんね。

今回はx^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということが事前に分かっているということがあるので、P→Qが偽であることがわかりました。

しかしそれがわからない時はどうでしょうか？その時は何を持ってP→Qを言えるのでしょうか？

つまり、x^2＝２がx=√２∨x=-√２と同値ということがわからないときです。でも敷を弄ってみたらPからQがでてきた、そういう時はどういうふうにすればあ良いのでしょうか

回答No.2

Tacosan

「それはそうなんですけど....」の「...」であなたが何を言いたいのか全く分かりませんが....

あなたの頭の中では -√2 = √2 なんですか?

補足

次の例はどうでしょう。

単位元Iをもつ半群Sの元aが逆元a’を持つならば、任意の元bに対してa・x=b,　y・a=bとなるx、yが一意的に定まる。

証明
a・x=bならばa'a・x=a'b, I・x=a'b
よって「a・x=b　⇒　x=a'・b」

この場合、なぜx=a'・bがa・x=bのすべてを満たすxの解だとわかるのでしょうか。

a・x=bからxの解を導き出すのになぜ左から逆元をかけるだけで「全てのxを網羅できている」と確信できるのでしょうか。

左から逆元をかけただけではa・x=bの解は足りず、したがって
「a・x=b　⇒　x=a'・b」は成り立たないかもしれないじゃないですか

回答No.1

coai

x=-√2 の可能性も存在するため。

補足

それはそうなんですけど....