X^4+X^2+2X+6=0の解き方

質問

X^4+X^2+2X+6=0の左辺を因数分解をすると
(X^2-2X+3)(X^2+2X+2)になるようなんですが
どのように因数分解したのですか？
フェラーリの公式をつかわないといけないのですか？

回答No.2

sunflower-san · ベストアンサー

次のように考えるのはどうでしょうか？

まず、
X^4 + X^2 + 2 X + 6
= X^4 + (X + 1)^2 + 5
は明らかに X が実数である限り常に正です。
つまり、X^4 + X^2 + 2 X + 6 = 0 は実数解を持ちません。

そこでもし整数係数で因数分解できるとすれば、判別式が負の2次式の2つの積
(X^2 +A X +B)(X^2 +C X +D) の形に限ります。
ここで、掛け算する2次式の順番を B≦D となるようにとっておきます。

(X^2 +A X +B)(X^2 +C X +D)
= X^4 +(A+C) X^3 +(B +AC +D) X^2 +(AD +BC)X +BD
= X^4 + X^2 + 2 X + 6

となるように A, B, C, D をとるためには
X^3 の係数が0であることより、C=-A でないといけません。これを代入してみると

X^4 +(B +D -A^2) X^2 +A(D - B)X +BD
= X^4 + X^2 + 2 X + 6

つまり、B + D = A^2 +1 かつ A(D - B) = 2 かつ BD = 6

さて、BD = 6 となる整数の組 (B, D) は (2, 3) または (-3, -2) ですが、B + D = A^2 + 1 > 0 なので、B = 2, D = 3 でないといけません。
よってA(D - B) = A = 2 となって、これらの A, B, D はもう一つの条件式 B + D = A^2 +1 も満たします。

こうして、
X^4 + X^2 + 2 X + 6 = (X^2 +2 X +2)(X^2 +2 X +3)
という因数分解が得られました。

4 次式が有理数係数の多項式に因数分解がでできるならば、同様の方法で出来ます。
全く因数分解しない多項式(既約な4次多項式)であれば、上の方法で係数を絞り込んでいくと、条件を満たす整数 A, B, C, D は存在しないことが分かります。
上の推論では「整数係数の多項式が有理数係数の多項式の積に因数分解がでできるならば、実は整数係数の多項式の積に因数分解できる」という性質(ガウスの補題)を用いました。この性質から、BD = 6 であることから (B, D) は (2, 3) または (-3, -2) に絞り込むことができたというわけです。

回答No.3

sunflower-san

No.2 回答中

こうして、
X^4 + X^2 + 2 X + 6 = (X^2 +2 X +2)(X^2 +2 X +3)
という因数分解が得られました。

というのは

こうして、
X^4 + X^2 + 2 X + 6 = (X^2 +2 X +2)(X^2 -2 X +3)
という因数分解が得られました。

の間違いです。訂正して読んでください。
失礼しました。

回答No.1

spring135

X^4+X^2+2X+6=(X^2-2X+3)(X^2+2X+2)

右辺は実数の範囲でこれ以上因数分解できなくて、X=1,2,3...,-1,-2,-3...

と代入してもfitするものは現れません。一種の虚を突かれた感じです。

ともあれ

x^4+x^2+2x+6=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

とおいて、右辺を展開して係数比較します。

x^4+x^2+2x+6=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(bc+ad)x+bd

よって

a+c=0 　　 (1)

b+d+ac=1　　　(2)

bc+ad=2　　　(3)

bd=6　　　　　(4)

(1)より

c=-a

(2),(3)に代入してcを消すと

b+d=a^2+1 (5)

b-d=-2/a　　　　(6)

これらより

b=(a^2+1-2/a) (7)

d=(a^2+1+2/a)　　(8)

(4)に代入して

(a^2+1-2/a)(a^2+1+2/a)＝24

整理して

a^6+2a^4-23a^2-4=0 (9)

6次式で展望ないなという感じですが

p=a^2とおくと

p^3+2p^2-23p-4=0　　　(10)

ここでaは実数と考えて

p>0が条件

p=1,2,3,..とやっていくと

P=4がfitして(10)は

p^3+2p^2-23p-4=(p-4)(p^2+6p+1)

p^2+6p+1=0を満たすp>0の解があれば話は面白くなりますがこの解は

p=-3±2√2

いずれもp<0でアウト。よってp=4

a=±2

1)a=2のとき

(4)よりc=-2

(7)よりb=2,d=3

2)a=-2のとき

(4)よりc=-2

(7)よりb=3,d=2

いずれも

x^4+x^2+2x+6=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=(x^2+2x+2)(x^2-2x+3)