高校数学、立体図形

質問

図の立体の体積を求めよ。
A,D,G,Hは重なる点であり、この点をVとする。
Vから面BEFCに垂線VIを下ろす。

として、VIの長さを求めようとしたのですが、Iの位置がよくわかりません。どうやって調べればよいのでしょうか？

回答No.6

gohtraw · ベストアンサー

Ｎｏ４より、点ＧもＤも四角形ＢＣＦＥと垂直な円の円周上を動くことが
判り、点ＧとＤが重なることによって三角形ができる（これがＮｏ５の
三角柱の底面になる）。

ではこの底面はＢＣＦEとどういう関係（角度）にある？

お礼

ありがとうございました

補足

2つの円の交点に三角形は出来、その三角形と面BCFEは垂直になります。
では、正4面体についてはどうなるかをかんがえたいのですが、
正4面体の側面の正3角形では2つの円は底面とどのような関係にあるのでしょうか？

回答No.5

gohtraw

ひとまず△HEFやABCの事は忘れようか。
そして、四角形CFGPが長方形になるような点P、および
四角形BEDQが長方形になるような点Qを考えようか。

そして、四角形BCFEとCFGPとBEDQだけ考えてご覧な。
そして、CFおよびBEを折り目として四角形BCFEと
BECQを折り返してみて。GとDが重なるまで。

どんな形ができる？

補足

GとDが重なる点をVとするならば、三角形VEFを底面とする三角柱ができます。
だから、もとの問題では面EHFとBEFCが垂直になるということなのでしょうか？

回答No.4

gohtraw

点Gのうごきについて

＞点Hにかさなります

△HEFも折ればね。言いたかったのは、辺EFや四角形BCFEに対して
どういう動きをするかということ。

点CからF、Gに至る部分がL字型に曲がった針金だと思って、CFの部分を
軸として回したらどうなる？FGの部分はFを中心として、Gが円を描くでしょ？

その円と、四角形BCFEのなす角はどうなる？

補足

Fを中心、Gを動点とするとき、Gが描く円は面BEFCに垂直になります。
（その理由を言えと言われたらよくわからないです）

回答No.3

gohtraw

直線ＣＦを折り目として△ＧＣＦを折り返したら点Ｇはどう動く？

補足

点Hにかさなりますが、そこからどうしてBEFC垂直EHFがわかるのでしょうか？

回答No.2

info222_

>VIの長さを求めようとしたのですが、Iの位置がよくわかりません。どうやって調べればよいのでしょうか？

想像できなければ、紙を切り抜いて立体を組み立ててみて下さい。

V（H)は辺EFの中点(ここが垂線の足Iとなります)の真上に来ます。
したがって
　VIの長さ=EF/2=BC/2=AB/2=√2/2

立体（四角錐）の体積
=□BEFC*VI/3=BC*BE*VI/3=√2*1*(√2/2)/3
=1/3

お礼

問題集にはいきなりIはEFの中点と書かれているので、どうしてそれがわかるのかが知りたいです。

補足

Iの位置がEFの中点である。というのは
図を書いてみて、「V（H)は辺EFの中点(ここが垂線の足Iとなります)の真上に来ます。」というのがわかるからVIが面BECFに垂直ということを示す。という流れでしょうか?
たとえば、正4面体ならば、図を書いてみると側面の真上には来ません。

回答No.1

gohtraw

ＤＥ＝ＢＥ＝１、ＢＤ＝√２なのだから、∠ＢＥＤは直角です。ということは、
点ＶからＢＥＦCに下ろした垂線というのは、ＨからＥＦに下ろした垂線に
他ならないと思います。

補足

DE垂直BEより、平面VED垂直BECF、平面EVF垂直VEDということはわかるのですが、そこからどうやって面EVF垂直BECFとなるのでしょうか？