むずかしい推理パズル（？）

質問

次のむずかしい推理パズル（？）の解法と答えを教えていただけませんか。

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テーブルの上にトランプの１～１０のカード４０枚がすべて伏せて置いてあります。
Ａさん、Ｂさん、Ｃさんがテーブルを囲うように座っています。
まず、Ａさんがその中から、他の二人に見えないようにランダムに２枚引きます。
そして、引いたカードの数をかけた値をＢさんにだけ教えます。
次に引いたカードの数を足した値をＣさんにだけ教えます。

ＡさんがＢさんに、引いたトランプの２枚の数字は何かわかるか質問します。
Ｂさんは分からないと答えます。
次にＡさんはＣさんに、引いたトランプの２枚の数字は何かわかるか質問します。
Ｃさんも分からないと答えます。
そのＣさんの返事を聞いたＢさんは、「実はＣさんにもトランプの数字はわからないのは分かっていましたよ」と言いました。
それから、Ｃさんは少し考え、トランプの数字がわかったと言いました。
それに続き、Ｂさんもトランプの数字がわかったと言いました。

Ａさんが引いたトランプの数字は何と何でしょうか。
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引いた数をαとβとすると、
かけた数はα×β、足した数はα＋βとなります。
そこから先がわかりません。

回答No.6

staratras

No.5です。誤記を訂正します。失礼しました。１３⇒１４

誤：その組み合わせにしかない和が片方にある場合、例えば和4が存在する積4や、和13が存在する積が40であれば

正：その組み合わせにしかない和が片方にある場合、例えば和4が存在する積4や、和14が存在する積が40であれば

お礼

わざわざありがとうございます。

回答No.5

staratras

少し面倒ですが、順を追って考えれば答えが出ます。

まず下の左の図は、10の段までの九九(十十？)の表です。このうち黄色の枠はその積になる組み合わせが1通りしかない組み合わせです。最初にＡさんが聞いた「2数の積」がこの黄枠の中の数であればその時点で「判明」です。

しかしＡさんは初めはわからなかったのだから、そうではなく聞いた積は緑色の枠の中の数字です。例えば4であれば、1×4と2×2の2通りあるので、それだけでは決まりません。

「2数の積」だけでは決まらないのは、4,6,8,9,10,12,16,18,20,24,30,36,40の13通りあり、このときＢさんが聞く「2数の和」がどうなるかを下の右の図で示しています。例えば積が4のとき、2数の和は1+4=5または2+2=4 の2通りの可能性があります。

＞Ｂさんは、「実はＣさんにもトランプの数字はわからないのは分かっていましたよ」と言いました。ここがポイントです。

まず2数の和だけで組わせが決まるのは、2=1+1,3=1+2,19=9+10,20=10+10の4通りだけですが、これはそれ以前に2数の積を聞いただけでわかる黄枠内なのでこの場合ではありません。

Ａさんは自分が聞いた積の2通りの分解について、それぞれ和を考え、そのどちらもこの和を聞いただけでは組わせが1通りに定まらないことに事前に気づいていたのです。例えばＡさんが積が10だと聞いたとすると1×10ならば1+10＝11、2×5ならば2+5=7 で和は11か7かを聞くはずですが、7も11も積が10以外の場合にもありますので、和だけでは確定できません。

その組み合わせにしかない和が片方にある場合、例えば和4が存在する積4や、和13が存在する積が40であれば、Ｂさんの聞いた数がこの2数の場合はＢさんに組み合わせがわかってしまいます。したがってＡさんが聞いた積はこの場合ではなかったということになります。これは上記の2例だけで、これを除いた組み合わせに薄赤色を付けました。

この段階でＣさんにわかったということは、色を付けた部分で和が1つしかないものだったからで、それは5です。答えは2と3(積6、和5）です。

お礼

回答ありがとうございます。

Excelで実際にやってみました。
解答にたどり着くことができました。

回答No.4

fine_day

Ｂさんが最初に聞いた数から組み合わせを特定できなかったということは
その数（２数の積）が２つ以上の組み合わせが考えられるものだったということです。
4(1*4,2*2)
6(1*6,2*3)
8(1*8,2*4)
9(1*9,3*3)
10(1*10,2*5)
12(2*6,3*4)
16(2*8,4*4)
18(2*9,3*6)
20(2*10,4*5)
24(3*8,4*6)
30(3*10,5*6)
36(4*9,6*6)
40(4*10,5*8)

このとき、Ｃさんが聞いた数（２数の和）を右側に書いてみます。
4(1*4,2*2)→5,4
6(1*6,2*3)→7,5
8(1*8,2*4)→9,6
9(1*9,3*3)→10,6
10(1*10,2*5)→11,7
12(2*6,3*4)→8,7
16(2*8,4*4)→11,8
18(2*9,3*6)→11,9
20(2*10,4*5)→12,9
24(3*8,4*6)→11,10
30(3*10,5*6)→13,11
36(4*9,6*6)→13,12
40(4*10,5*8)→14,13

Ｂさんが「実はＣさんにも～」と考えたのは、自分の聞いた積から考えられる和が
ひとつの組み合わせに限定できるものではなかったからです。
例えばＢさんが「40」と聞かされていれば
「Ｃさんは『13』と聞かされたなら限定できないけれど
　『14』なら（4,10）だとわかるはず」と考えるでしょう。
そうならなかったのは考えられるすべての和が他の組み合わせとかぶっているからです。
そうでないものを除外します。
6(1*6,2*3)→7,5
8(1*8,2*4)→9,6
9(1*9,3*3)→10,6
10(1*10,2*5)→11,7
12(2*6,3*4)→8,7
16(2*8,4*4)→11,8
18(2*9,3*6)→11,9
20(2*10,4*5)→12,9
24(3*8,4*6)→11,10
30(3*10,5*6)→13,11
36(4*9,6*6)→13,12

Ｃさんがここでわかったのは、２数の和がこの中にひとつしかないものだからです。
5～13まである和のうちひとつしかないのは「5」。
よってＣさんは組み合わせが(2,3)だとわかったのです。

お礼

回答ありがとうございます。

Excelをつかって、解答にたどり着きました。

回答No.3

yamanaka201

（２と２）（４と１０）の２つの答えがあるような・・・

（２と３）ではないですよ。
（２と３）ならば、Ｂさんには【６】、Ｃさんには【５】が知らされる。
Ｂさんには１×６、２×３の候補があり、特定できない。
Ｃさんには１＋４、２＋３の候補があり、特定できない。
ＢさんはＣさんが答えを特定できないのを知っていたので、
Ｃさんは（１と４）の場合と（２と３）の場合を考える。
（１と４）ならばＢさんには【４】が知らされ１×４、２×２の候補
（２と３）ならばＢさんには【６】が知らされ１×６、２×３の候補
どちらも複数解があるのでＣさんは答えを特定できない。

（２と２）ならば、Ｂさんには【４】、Ｃさんには【４】が知らされる。
Ｂさんには１×４、２×２の候補があり、特定できない。
Ｃさんには１＋３、２＋２の候補があり、特定できない。
ＢさんはＣさんが答えを特定できないのを知っていたので、
Ｃさんは（１と３）の場合と（２と２）の場合を考える。
（１と３）ならばＢさんには【３】が知らされ１×３しかなく答えは特定できる。
（２と２）ならばＢさんには【４】が知らされ１×４、２×２の候補があり特定できない。
ゆえにＣさんは（２と２）と特定できる。
Ｂさんは（１と４）の場合と（２と２）の場合を考える。
（１と４）ならばＣさんには【５】が知らされ１＋４、２＋３の候補
（２と２）ならばＣさんには【４】が知らされ１＋３、２＋２の候補
Ｂさんが特定できないことを知ってからＣさんが特定できたことから
Ｂさんは１＋３ではないことが分かる。
すると（２と２）の場合に後から候補を絞ることができると言うことが分かるので
（２と２）に特定できる。

（４と１０）の場合も同様。

お礼

回答ありがとうございます。

正解は（２，３）のようです。

回答No.2

stringf35

私もわかりません。
２と３ですか…。
１と４ではなぜダメなんでしょう。

参考URLのほうが有名なようですが、
ご質問のパズルはちょっと違いますね。

参考URL：

http://www12.ocn.ne.jp/~kumo/trump.html

お礼

回答ありがとうございます。

参考URLをみてみました。
解き方の方針はわかったので、やってみようと思います。

回答No.1

okwave-official

全然むずかしくねえわ

相手の答えを聞いて相手の持っている情報もせばまって、
　２と３
ということだけに決まる。