4個のサイコロ

質問

息子(高校生)に聞かれて答えられなかった問題です。

サイコロを4回振って出た目を、振った順に a, b, c, d とすると

a <= b <= c <= d

となるのは何通りか？

126 が答えで、地道に数えればこうなることは判るのですが

スマートなやり方があるらしいのです。
＃どうも 9C4 らしい。

ちょっと思いつかないので、ご存知の方、ご教授をよろしくお願いします。

回答No.1

eden3616 · ベストアンサー

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1428259124

9C4の計算方法は
（9*8*7*6）　/　（4*3*2*1） ＝ 126

お礼

なるほど。+1 を意味する黒玉が5個。目を意味する白玉を4個
とすると、9個の玉のうち、どれを黒にするかの組み合わせ
9c5 で行けますね。

ありがとうございます。

しかしちょっと巧妙すぎるかな？

なんかもうすこし簡単で直接的な手があるような気がするのですが・・・

引き続き募集します。

補足

具体的解法を示していただけたのでこちらをBAとさせていただきます。

回答No.3

staratras

No..2です。

一般に、mＨn = (m+n-1)Ｃn が成り立ちます。

No.2の言わんとするところは、

題意を満たす順番を考えた組み合わせと、順番を考えない(1から6までの6種類の数字から重複を許して4つ取る場合の）出目の組み合わせは1対1で過不足なく対応するので、場合分けをして考える必要はなく、

6Ｈ4=9Ｃ4＝126　で題意を満たす組み合わせの総数が計算できるということです。

お礼

結局、子供の学参に答えをみつけました。

1~6でa≦b≦c≦d なら重複組み合わせですが
1~9でeくfくgくh なら単なる組み合わせなので9C4

この2つは

a=e、b+1=f、c+2=g、d+3 = h

という規則で個々の場合を1:1に対応させることができる。

というシンプルなものでした。

私は美しいなと思いましたが
教えにくくて高校では嫌われている証明のようです。

お付き合いありがとうございました。

補足

順番と大小関係で固定すると重複組み合わせになるというのは
わかるのです。

なのであとは mHn=(m+n-1)Cn

という変換式のスマートな証明の仕方が知りたいのです。

基本的に ANO1 さんのやり方がポピュラーみたいですが

もうちょい良い手がないか探してます。

何かわずかな細工で、重複ありを重複なしにできるような
変換があることを公式が示唆しているような気がするのですが
考えすぎでしょうか？

妙な質問ですいません。

回答No.2

staratras

以下のように考えると、題意を満たす組み合わせの総数は、順番を考えない、1から6までの6種類の数字から重複を許して4つ取る場合の出目の総数と同じであることがわかります。

A=1,B=2,C=3,D=4,E=5,F=6とし、例えば1回目1、2回目2、3回目3、4回目4がでた場合をABCD、すべて1が出た場合をA^4で表すことにします。

すべて異なる数の組み合わせの場合、例えば1,2.3.4であれば、題意を満たす順番はABCDだけです。(DCBAなどこれ以外はすべて題意を満たしません)

一部重複する場合、例えば1が2回、2が2回出たのであれば1どうし、2どうしは区別がないので、題意を満たすのはA^2B^2だけです。

すべて重複する場合、例えば6が4回とも出た場合であれば、F^4はもちろん題意を満たします。

つまりどのような場合でも、題意を満たす組み合わせと、順番を考えない(1から6までの6種類の数字から重複を許して4つ取る場合の）出目の組み合わせは1対1で過不足なく対応します。

この異なる6種類のものから重複を許して4つ取る組み合わせの総数は
6Ｈ4=9Ｃ4＝126です。

お礼

なるほど

A^4 6通り
A^3B 15通り
AB^3 15通り
A^2B^2 15通り
A^2BC 20通り
AB^2C 20通り
ABC^2 20通り
ABCD 15通り

合計 126通り

というように分けると確かに楽ですね。
重複組み合わせって記号まで用意されているんですね。知りませんでした。

一般的に mHn = (m+m)Cn
が成り立つのでしょうか？

補足

>mHn = (m+m)Cn

お礼の補足。タイポです(^^;

>mHn = (m+n)Cn