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サイコロの確率の問題(一橋大学過去問)

サイコロの確率の問題(一橋大学過去問) 問:1個のさいころをn回投げる (1)n≧2のとき 1の目が少なくとも1回出て かつ2の目も少なくとも1回出る確率を求めよ。 (2)n≧3のとき 1の目が少なくとも2回出て かつ2の目が少なくとも1回出る確率を求めよ。 についてです。以下のように確率を定義します。 P(A)→1が少なくとも1回出る確率 P(B)→2が少なくとも1回出る確率 P(C)→1が少なくとも2回出る確率 (1)はP(A∩B)を求めればよく、(2)はP(C∩B)を求めれば良いことは分かっています。 (2)について、ここであくまで直感的な話ですが、P(C)/P(A)の比が集合A∩B内でも集合A内でも同じように含まれていると考え、 P(A∩B)*(P(C)/P(A)) としても答えが出るような気がして、エクセルで試しに計算してみたのですが、正しい答えと僅かにずれます。 この原因について何か知見を持っておられる方はいらっしゃいますでしょうか。 よろしくお願い致します。

みんなの回答

回答No.3

1の出る回数によって,2が出る確率は変わりますからね・・。 言葉で言えば、1が1回以上出るときの2の出る(条件付き)確率と、1が2回以上出るときの2の出る確率が違うからです。 式でいうと、 P(A∩B)*(P(C)/P(A))=P(C∩B) となるには P(A∩B)/P(A)=P(C∩B)/P(C) 即ち PA(B)=PC(B) (最後の式で A,B は下に小さく付く添字のつもり。つまり条件付き確率のつもり) であることが条件だが、 1が1回出るときの2が出る確率>1が2回出るときの2が出る確率>・・>1がn-1回出るときの2が出る確率>1がn回出るときの2が出る確率 (※最初の式が大事) (式でいえば 1-(5/6)^(n-1) > 1-(5/6)^(n-2) >・・> 1-5/6=1/6 > 1-1=0) だから、(キチンと計算しませんが) 当然PA(B)>PC(B)であって、条件を満たさないですね。 つまり、P(A∩B)*(P(C)/P(A))>P(C∩B) となります。 勿論nが大きければPA(B)とPC(B)は余り変わらないので近似値として使えるでしょうが、その場合の誤差は・・?計算してみて下さい。 勿論n→∞とすれば一致します。

tastastas
質問者

お礼

お礼が遅れてしまいました。 ありがとうございました。数値を小さくして自分で計算することで納得できました。

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回答No.2

>P(C)/P(A)の比が集合A∩B内でも集合A内でも同じように含まれていると考え が、間違いです。 nが無限大になれば同じになりますが、有限数であれば違います。 n=3 で考えるとわかりやすいですが、 P(A)=91/216 P(C)=16/216 です。 一方で、 P(A∩B)=21/216 P(C∩B)=3/216 従って、 P(C)/P(A)=16/91≒0.175 P(C∩B)/P(A∩B)=3/21≒0.142 となります。 この差の原因はn=3においては、組合せ"111"の存在にあります。

tastastas
質問者

お礼

お礼が遅れてしまいました。 ありがとうございました。 例外の具体例が分かりやすくて理解しやすかったです!

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  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

おはようございます。 計算はしていないのですが、単純に次のようなことが考えられると思います。 P(A∩B)は、1の目と 2の目がそれぞれ少なくとも 1回ずつ出る確率となりますが、 その中には 1の目が 1回だけ出て、残りすべてが 2の目もしくは 3~6の目が出ている確率 も含まれています。 このことが含まれている分だけ、ずれているような気がします。 そもそも「確率の比」というものは考えることは、わたしはおかしいかな?と思ってます。 (確率自体が全事象に対する比なので、比の比って・・・?) いまの問題自体は「少なくとも 1回」の問題ですから、余事象を考えることになりますね。 ((2)の余事象を考えるときに、(1)を使うことになりますね。)

tastastas
質問者

お礼

お礼が遅れてしまいました。 ありがとうございました。 みなさん賢いようで羨ましいです…。

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