確率計算

質問

恐縮ですが、下記確率計算を教えてください

１００個のうち１５個不良が入っています
この１００個から無作為に２個抜き取った時の不良を引き当てる確率は、、、、

４５年前の高校の授業かと思いますが、全くわかりません何卒宜しくお願いいたします

回答No.3

QoooL

高校数学を覚えていらっしゃるなら＃１のasuncionさんのご回答で完結しているので、
横取りみたいで恐縮ですが、解説します。

ｎＣｋ　というのは　Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　の略（ｎやｋは好きな数字）で、

ｎ個の中ならｋ個を選んだときの　「組み合わせ」の場合の数　を示す約束記号です。

例えば　ＡＢＣＤＥ　の５個から２個を選ぶとき（選ぶ順番は気にしない）、
ＡＢ
ＡＣ
ＡＤ
ＡＥ
ＢＣ
ＢＤ
ＢＥ
ＣＤ
ＣＥ
ＤＥ
の　１０通り　がありますね（辞書式の書き立て法）。

これを　５Ｃ２＝１０　と表します。

５Ｃ２　の計算方法はシンプルですよ。
分子に、５から徐々に下がる方向に整数２個　　５ｘ４
分母に、２から徐々に下がる方向に整数２個　　２ｘ１　（２！　とも書きます）
をそれぞれ掛け算して、
途中適切に約分しながら（約分しないとすぐに何百何千の大きな数字になるので）、

分子／分母　＝（５ｘ４）／（２ｘ１）＝　（２ｘ１）分の（５ｘ４）
＝　２０／２　（／は割る÷の記号と同じ）　＝１０

となります。

細かく言うと、
１個目の選び方　５通り
２個目の選び方　４通り（１個目で選んだもの以外）
よって１個目及び２個目の選び方は　（５ｘ４）通り　に思われますが、
ここで、
ＡとＢ
ＢとＡ
みたいな重複を除いてやらないといけません。
この例の場合には、
　　　（５ｘ４）通り　を　（２ｘ１）通り　で割ってやる
と、５個から２個を選ぶ　組み合わせが求められる、つまり　５Ｃ２＝１０　が求められる、というわけです。
この細かい話は、ｎＣｋがマスターできたなら忘れていただいても結構です。

練習問題１
１００個から２個を選ぶ　選び方

答え１
１００Ｃ２　＝（１００ｘ９９）／（２ｘ１）＝　４９５０

練習問題２
８５個から２個を選ぶ　選び方

答え２
８５Ｃ２　＝（８５ｘ８４）／（２ｘ１）＝　３５７０

asuncionさんのご回答で
８５Ｃ２／１００Ｃ２　＝（８５ｘ８４）／（１００ｘ９９）
となっているのは、分母にも分子にも　／（２ｘ１）　があって、消せるからです。

さて、無作為に２個抜き取る、という時には下の３つのケースが考えられます。

　　２個とも正常品である
■　２個中１個が不良品である
■　２個とも不良品である

これは、「全部で３通り」とはあまり言わない方が良いでしょう。言っても日本語的には間違いでありませんが、３ケースと言った方が、場合の数と間違えずに済みます。

２個抜き取った時に不良を引き当てる　ということが起きるのは、３つのケースのうちの■を付けたケースですね。

そこで、２個とも正常品である確率　を今から求めて行きます。
なぜかと言うと、■の合計を求めるより　楽　だからです。

　　　確率というのは、全て足したら　１　になります。１というのは１００％です。

で、１から　２個とも正常品である確率　を引いたら、■の合計が出てきます。

２個とも正常品である確率　を求めるには、
　　　２個とも正常品である場合の数　を　２個を選ぶ全ての場合の数　で割ります。
なんのことはない、

　　　４９５０通り中　３５７０通り　が２個とも正常品　だったら、
　　　３５７０／４９５０　が確率の求め方

です。で、

２個とも正常品である場合の数　は、８５Ｃ２　ですね。上にやった通り。
（正常な８５個から、２個を選んだ。）

２個を選ぶ全ての場合の数　は、１００Ｃ２ですね。

というわけで、２個とも正常品である確率は
　　　８５Ｃ２／１００Ｃ２　＝　３５７０／４９５０　＝　１１９／１６５　＝　０.７２１２・・
　　　＝約７２.１％

求める確率は、
　　　１－１１９／１６５　＝　４６／１６５　＝　０.２７８７・・・
　　　＝約２７.９％

別解
間違い易いやり方ですが、こんなやり方もあります。

２個とも正常品である確率は
１個目　１００個から、　　正常な８５個に当たる　　８５／１００
２個目　残り　９９個から、　残り８４個に当たる　　８４／９９
双方掛け算して
　　　（８５／１００）ｘ（８４／９９）＝　１１９／１６５

もちろんこの後、答えは同じになります。

お礼

詳細のご説明ありがとうございました

回答No.2

noname#235092

100個すべてに番号を付けます。No.1～No.85が良品、No.86～No.100が不良品とします。

まず2個抜き取るときの抜き取り方が全部で何通りあるか調べます。（分母）
1個目はNo.1～No.100の100通りです。そして2個目は99個しか残っていないので99通りです。
つまり分母は100×99通りとなります。

次に分子ですが、2個とも良品の場合を調べます。
1個目がNo.1～No.85の85通り、2個目は残りの84通りなので、85×84通りとなります。

したがって、2個とも良品を抜き取る確率は「（100×99）分の（85×84）」です。
ということはそれ以外が「不良を引き当てる確率」ということになります。

お礼

ありがとうございます
使わせていただきます

回答No.1

asuncion

不良品を引き当てる確率 = 1 - 不良品を引き当てない確率

不良品を引き当てない確率
= 85C2 / 100C2
= 85×84 / (100×99)
= 119/165

∴求める確率 = 46/165

お礼

早速まことにありがとうございました