極方程式におけるr^2の意味

質問

こんばんは。改めて数学をやり直してる中で、整理しにくい部分がありましたので、質問させて下さい。

レムにスケートを表す極方程式
r^2=cos(2θ) (θ∈R)
は有名な式だと思いますが、偏角θによっては、右辺が負の値を取るはずですが、r^2＜0 となるのは、r＜0 となることも考えられる極座標系であってもしっくりこないのですが、どのように考えるのが適当でしょうか。
(曲線の概形を描く上では、対称性を利用してしまえば済むと問題集では書かれていますが、実際描くには点P(r,θ)をとっていかねばならないはずなので、やはりしっくりきません)
宜しくお願いします。

回答No.2

spring135

>偏角θによっては、右辺が負の値を取るはずですが、r^2＜0 となるのは、が、どのように考えるのが適当でしょうか。

異本的な勘違いをしていませんか。

デカルト座標、極座標等、座標系に描かれるグラフはすべて実数x,yまたはr,θの組み合わせ(x,y),(r,θ)です。

よってr^2＜0等という場合は決してグラフ上に現れません。cos(2θ)≧0、すなわち

-π/2+2nπ≦θ≦π/2+2nπ

の場合のみグラフが描けます。

＞r＜0 となることも考えられる極座標系であってもしっくりこないのです

極座標系ではこのような範囲考える必要がありません。－の部分は偏角で処理します。

お礼

詳しい方の回答に感謝します。
一つ確認したいのですが、たしか教科書かなにかで、r＜0の極座標の点も考えられる、というような記述があったと思うのですが、、、

r＞0 のとき
極座標が(-r,θ)である点Pを直交座標に変換すると、
P(x,y)=(r・-cosθ,r・-sinθ)=(r・cos(θ+π),r・sin(θ+π))より

まだ根本的な勘違いをしているかもしれません^^;

回答No.1

178-tall

(x, y) で見ると、原点 O での接線は y=x, y=-x らしい。

両接線の上・下両側の領域がレムニスケート不在。
そこでは cos(2θ) が負だから、なのでしょうネ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
直交座標方程式について調べられましたか。流石です。自分もやってみようと思います。

補足

計算がめちゃめちゃ厄介でしたが、不可解な点は解決出来ました。ただ、別のQ&Aサイトに類似の質問を見たところ、極方程式から曲線の極値まで調べられる手法が紹介されているのには驚きました。
まだまだ甘かったです。
とまれ、良いきっかけをいただきありがとうございました。