解析学の質問です

質問

解析学の問題を次のように解きましたが、答えが分からず難儀しています。
どなたか、アドバイスをください。
よろしくお願いします。

問題
　曲線　r^2 = 2a^2 cos2θ の直角座標における方程式を求めよ

答え
　【前提として、次が成り立つことはテキストに明記されていました】
　x = r cosθ , 　y = r sinθ , 　r = √(x^2 + y^2) , 　tanθ　= y/x

　左辺 = x^2 + y^2
　右辺 = 2a^2 cos2θ = 2a^2*2*(sinθ*cosθ) = 2a^2*2*(y/r*x/r) = 4a^2*xy/(x^2+y^2)
　よって、この方程式は、 (x^2 + y^2)^2 = 4a^2xy　となる。

　以上の形になるのですが、この方程式は果たして何なのでしょうか。
　そもそも、答え方が間違っているでしょうか？
　本当はテキストを熟読して自己解決したいのですが、不運なことに大学で指定されたテキストは、問題の答えや解法が記載されていないので、類題などを発見しても参考にすることができず、何時間も「答え方を勉強できるテキストのページはどこか」を探すことに費やしてしまって、クタクタです。
　通信教育で学んでいるため、気軽に質問をすることもできないので、こちらを頼りにさせてもらおうと考えた次第です。
　どうか、「勉強すること」を助けていただけますよう、皆様のご助力をお願い申し上げます。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

右辺の変形に誤りがある。2sinθcosθ = sin(2θ)でcos(2θ)ではない・・!
cos(2θ) = cos^2(θ)－sin^2(θ)・・・加法定理ですぐに導ける
右辺 = 2a^2cos(2θ) = 2a^2(cos^2(θ)－sin^2(θ)) = 2a^2(x^2/r^2－y^2/r^2)
= 2a^2(x^2－y^2)/(x^2＋y^2)

よって
(x^2＋y^2)^2 = 2a^2(x^2－y^2)

レムニスケート(連珠線)と呼ばれている曲線の方程式を表している・・!

お礼

な、なんだって！！
そうか。そんな単純なことだったのですね。
でも、連珠線ってなんなのか、初めて聞いた単語です。
ちょっとgoogleで調べてみますね＾＾
ありがとうございました。