次の不定積分の解き方がわかりません。

質問

次の不定積分の解き方がわかりません。
∫12x/x^3+8dx
わかる方がいれば、よろしくお願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

x^3 + 8 は x = -2 のとき 0 となるので、被積分関数は以下のように因数分解できます。
　　　12*x/( x^3 + 8 ) = 12*x/{ ( x+ 2 )*( x^2 - 2*x + 4 ) }
これを 部分分数に分解すると
　　　= -2/( x+ 2 ) + ( 2*x + 2 )/( x^2 - 2*x + 4 )
この第一項は容易に積分できます。第二項を「( x^2 - 2*x + 4 )の微分/( x^2 - 2*x + 4 ) ＋ 残り」の形に分解すると
　　　= -2/( x+ 2 ) + ( 2*x - 2 )/( x^2 - 2*x + 4 ) + 6/( x^2 - 2*x + 4 )
この第一項と第二項は容易に積分できます。

第三項は
　　　 6/( x^2 - 2*x + 4 ) = 6/{ ( x - 1 )^2 + 3 }
と書けるので、x - 1 = (√3)*tanθ と置換すれば
　　　dx = (√3)*{ 1 + ( tanθ )^2 } dθ
　　　( x - 1 )^2 + 3 = 3*{ 1 + ( tanθ )^2 }
なので、第三項の積分は
　　　∫6/( x^2 - 2*x + 4 ) dx = ∫2*(√3) dθ = 2*(√3)*θ + C（積分定数）
x - 1 = (√3)*tanθ から θ = arctan{ ( x - 1 )/ (√3) } だから
　　　∫6/( x^2 - 2*x + 4 ) dx = ・・・

お礼

わざわざ詳しくありがとうございます！

回答No.5

info22_

参考URLで積分してくれます。右上の「show steps」をクリックすれば途中の詳しい計算過程も見られます。便利な数式処理サイトがあるものですね。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(12*x%2F(x^3%2B8)%2Cx)

お礼

とても便利ですねｗ
ありがとうございます。

回答No.4

inara1

ANo.3 です。4行目に間違いがありました。
【誤】　= -2/( x+ 2 ) + ( 2*x + 2 )/( x^2 - 2*x + 4 )
【正】　= -2/( x+ 2 ) + ( 2*x + 4 )/( x^2 - 2*x + 4 )

回答No.2

nag0720

∫12x/(x^3+8)dx
のつもりなら部分分数に分解する。

お礼

なるほど部分分数分解ですか！
ありがとうございます。

回答No.1

remonpakira

なんだか問題がおかしい気もしますが。
12x/x^3の部分は正しくて、割って12/x^2にして良いんですよね？
であれば、
-12/x＋8x＋Cになると思います。

お礼

回答ありがとうございました。